《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

9. 将军饮马模型 (湖北武汉六中自主招生)如图,$A(0,1),M(3,2),N(4,4)$,动点P从点A出发,沿y轴以每秒1个单位长度的速度向正方向移动,过点P的直线$l:y= -x+b$也随之移动,设移动时间为t秒.
(1)若直线l与线段MN有交点,确定t的取值范围;
(2)设直线l与x轴交点为Q,若$QM+QN$取得最小值,求此时直线l的函数表达式.

答案：
9.
(1)当直线 l 过点 M(3,2)时，2=-3+b，解得 b=5，
∴5=1+t，
∴t=4;当直线 l 过点 N(4,4)时，4=-4+b,解得 b=8,
∴8=1+t,
∴t=7,
∴当直线 l 与线段 MN 有交点时,t 的取值范围为 4≤t≤7.
(2)如图，作点 M关于 x 轴的对称点 M'(3,-2)，连结 M'N，交 x 轴于点 Q,此时 MQ+NQ 的值最小,最小值为 M'N.设直线 M'N 的表达式为 y=kx+n，把 M'(3,-2),N(4,4)代入，得{3k+n=-2,4k+n=4}，解得{k=6,n=-20},
∴直线 M'N 的表达式为 y=6x-20 .当 y=0 时，6x-20=0,解得$ x=\frac{10}{3},$
∴$Q(\frac{10}{3},0).$把$ Q(\frac{10}{3},0)$代入 y=-x+b ,得$ 0=-\frac{10}{3}+b,$解得$ b=\frac{10}{3}.$
∴直线 l 的函数表达式为$ y=-x+\frac{10}{3}.$

10. (1)一次函数$y= 2x+1$的图象上每个点的横坐标不变,纵坐标都增加1个单位长度后,得到的函数图象表达式是______y=2x+2.
(2)①一次函数$y= 2x+1$的图象上每个点的横坐标扩大2倍,纵坐标不变,得到的函数图象表达式是( B ).
A.$y= 4x+1$
B.$y= x+1$
C.$y= x+\frac {1}{2}$
②一次函数$y_{1}= k_{1}x+b_{1}$的图象上每个点的横坐标扩大2倍,纵坐标不变,得到的函数图象表达式是$y_{2}= k_{2}x+b_{2}$,求$\frac {k_{1}}{k_{2}}+2(b_{1}-b_{2})$的值.2

答案： 10.
(1)y=2x+2
(2)①B [解析]函数 y=2x+1 中，当 x=1时，y=3，当 x=-1 时，y=-1.
∵一次函数 y=2x+1 的图象过点 (1 ,3),(-1,-1)，
∴横坐标扩大 2 倍 ,纵坐标不变后，得到(2 ,3),(-2,-1),把(2,3),(-2,-1)代入 y=kx+b，得{2k+b=3,-2k+b=-1}，解得{k=1,b=1},
∴一次函数 y=2x+1 的图象上每个点的横坐标扩大 2 倍,纵坐标不变,得到的函数图象表达式是 y=x+1.②一次函数 y₁=k₁x+b₁ 的图象上每个点的横坐标扩大 2 倍,纵坐标不变,得到的函数图象表达式是 y₂=k₂x+b₂,则 b₁=b₂，k₁=2k₂.
∴$\frac{k₁}{k₂}+2(b₁-b₂)=\frac{2k₂}{k₂}=2.$

11. (2023·绍兴中考)一条笔直的路上依次有M,P,N三地,其中M,N两地相距1000米,甲、乙两机器人分别从M,N两地同时出发,去目的地N,M,匀速而行.图中OA,BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象.
(1)求OA所在直线的表达式.
(2)出发后甲机器人行走多少时间,与乙机器人相遇?
(3)甲机器人到P地后,再经过1分钟乙机器人也到P地,求P,M两地间的距离.

答案： 11.
(1)由题中图象可知，OA 所在直线为正比例函数，
∴设 y=kx.
∵A(5,1000)，
∴1000=5k，
∴k=200，
∴OA 所在直线的表达式为 y=200x.
(2)由题图可知，甲机器人速度为 1000÷5=200(米/分钟)，乙机器人速度为 1000÷10=100(米/分钟)，两人相遇时间为$\frac{1000}{100+200}=\frac{10}{3}($分钟).故出发后甲机器人行走$\frac{10}{3}$分钟，与乙机器人相遇.
(3)设甲机器人行走 t 分钟时到 P 地，P 地与 M 地距离为 200t 米，则乙机器人行走(t+1)分钟后到 P 地，P 地与 M 地距离为 1000-100(t+1)，由 200t=1000-100(t+1)，解得 t=3.
∴200t=600.故 P,M 两地间的距离为 600 米.