《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

8. 如图,$AB// CD$,$EF分别与AB$,$CD交于点B$,$F$,若$\angle E= 30^{\circ}$,$\angle EFC= 130^{\circ}$,则$\angle A= $20°.

答案： 20°　[解析]
∵AB//CD,
∴∠ABF+∠EFC=180°.
∵∠EFC=130°,
∴∠ABF=50°.
∵∠A+∠E=180°−∠ABE=180°−(180°−∠ABF)=∠ABF,∠E=30°,
∴∠A=20°.

9. 如图(1)是我们常用的折叠式小刀,图(2)中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成如图(2)所示的$\angle 1与\angle 2$,则$\angle 1与\angle 2$的度数之和是______度.

答案：
90　[解析]如图,过点E作EF//AB,
∴∠1=∠AEF.
又AB//CD,
∴EF//CD,
∴∠2=∠CEF,
∴∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°.
　　　　　　　

10. (2025·云南昆明西山区期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC于点D$,$AE平分\angle BAC交BC于点E$.
(1)若$\angle B= 70^{\circ}$,$\angle C= 30^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；
(2)若$\angle B-\angle C= $

$40^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数.

答案：
(1)
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADE=90°,
∴∠BAD=90°−∠B=90°−70°=20°,
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°.
(2)
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$(180°−∠B−∠C)=90°−$\frac{1}{2}$(∠B+∠C).
∵AD⊥BC,
∴∠BAD=90°−∠B.
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=90°−$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)−(90°−∠B)=$\frac{1}{2}$(∠B−∠C).
∵∠B−∠C=40°,
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$×40°=20°.

11. 中考新考法 过程纠错 推理是数学基本方式,若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误.
例如,有人声称可以证明"任意一个实数都等于0",并证明如下：
设任意一个实数为$x$,令$x= m$,
等式两边都乘$x$,得$x^{2}= mx$,①
等式两边都减$m^{2}$,得$x^{2}-m^{2}= mx-m^{2}$,②
等式两边分别分解因式,得$(x+m)(x-m)= m(x-m)$,$③$
等式两边都除以$x-m$,得$x+m= m$,$④$
等式两边都减$m$,得$x= 0$,$⑤$精题详解
所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中开始出现错误的那一步对应的序号______..
④

答案： ④　[解析]设任意一个实数为x,令x=m,等式两边都乘x,得x²=mx,①的依据为等式的基本性质2;等式两边都减m²,得x²−m²=mx−m²,②的依据为等式的基本性质1;等式两边分别分解因式,得(x + m)(x - m)=m(x - m),③的依据为分解因式;等式两边都除以x - m,得x + m=m,④的依据为等式的基本性质2,但是用法出错，题干中给出的条件是x=m,所以x - m=0,不能直接除.

12.转化思想 如图,$AB// CD$,点E为两直线之间的一点.
(1)如图(1),若$\angle BAE= 35^{\circ}$,$\angle DCE= 20^{\circ}$,则$\angle AEC= $______$^{\circ}$;
(2)如图(2),试说明$\angle BAE+\angle AEC+\angle ECD= $$360^{\circ}$;
(3)如图(3),若$\angle BAE的平分线与\angle DCE$的平分线相交于点F,判断$\angle AEC与\angle AFC$的数量关系,并说明理由.
精题详解

答案：

(1)55　[解析]如图
(1),过点E作EF//AB.
∵AB//CD,
∴AB//CD//EF,
∴∠1=∠BAE,∠2=∠ECD,
∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠ECD=35°+20°=55°.
　　　
(2)如图
(2),过点E作EG//AB.
∵AB//CD,
∴AB//CD//EG,
∴∠A+∠1=180°,∠C+∠2=180°,
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°,即将三个角的和转化为两个互补角的和，即∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°.
(3)2∠AFC+∠AEC=360°.理由如下:
∵AF平分∠BAE,CF平分∠DCE,
∴∠BAE=2∠BAF,∠DCE=2∠DCF.
　　由
(1),可得∠AFC=∠BAF+∠DCF,
∴∠BAE+∠DCE=2∠BAF+2∠DCF=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC.
　　由
(2)可知,∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°,
∴2∠AFC+∠AEC=360°.
　一题多解　
(1)如图，延长AE交CD于点G，则易证∠AEC=∠C+∠EGC.