《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

2. 如图,在△ABC 中,AB= AC,D,A,E 三点都在直线 m 上,并且有∠BDA= ∠AEC= ∠BAC= α,其中 α 为任意锐角或钝角. 请问 DE= BD+CE 是否成立. 若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由.

答案： 【解析】：本题可根据已知条件，通过证明三角形全等，进而得出线段之间的关系，判断$DE = BD + CE$是否成立。考查的知识点主要是全等三角形的判定与性质。
证明：
因为$\angle BDA=\angle BAC = \alpha$，所以$\angle BDA+\angle ABD = 180^{\circ}-\alpha$，$\angle BAC+\angle CAE = 180^{\circ}-\alpha$，则$\angle ABD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，
$\begin{cases}\angle BDA=\angle AEC\\\angle ABD=\angle CAE\\AB = AC\end{cases}$
根据全等三角形判定定理$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABD\cong\triangle CAE$。
所以$BD = AE$，$AD = CE$。
因为$DE=AD + AE$，将$BD = AE$，$AD = CE$代入可得$DE = BD + CE$。
【答案】：$DE = BD + CE$成立，证明过程如上述。

变式 2.1 如图,AB//CD,点 E 在 BC 上,AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC. 求证：EB= EC.

答案： 证明：延长AE交DC的延长线于点F。
∵AB//CD，
∴∠BAE=∠F。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE=∠F，
∴AD=FD。
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE。
在△ADE和△FDE中，
∠ADE=∠FDE，
DE=DE，
∠DAE=∠F，
∴△ADE≌△FDE（AAS），
∴AE=FE。
在△AEB和△FEC中，
∠BAE=∠F，
AE=FE，
∠AEB=∠FEC，
∴△AEB≌△FEC（ASA），
∴EB=EC。

(1)小王同学探究此问题的过程：延长 FD 到点 G,使 DG= BE,连结 AG. 先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论EF = BE + DF.
(2)如图(2),若在四边形 ABCD 中,AB= AD,∠B+∠D= 180°. E,F 分别是边 BC,CD 上的点,且∠EAF= 1/2∠BAD,上述结论是否仍然成立？请说明理由.
结论仍然成立。理由如下：
延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
由于∠B + ∠ADF = 180°，∠ADG + ∠ADF = 180°，
所以∠B = ∠ADG，
又因为AB = AD，BE = DG，
根据三角形全等（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，
所以△ABE≌△ADG，
根据全等三角形的性质可得：AE = AG，∠BAE = ∠DAG，
又因为∠EAF = 1/2∠BAD，
所以∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF，
即∠DAG + ∠DAF = ∠EAF，
所以∠GAF = ∠EAF，
由于AF = AF，
根据三角形全等（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，
所以△AEF≌△AGF，
根据全等三角形的性质可得：EF = GF，
又因为GF = GD + DF = BE + DF，
所以EF = BE + DF。

答案： 【解析】：
本题主要考查全等三角形的判定与性质。
(1) 探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系：
由于$\bigtriangleup ABE \cong \bigtriangleup ADG$，
根据全等三角形的性质可得：$AE = AG$，$\angle BAE = \angle DAG$，
又因为$\angle EAF = 60^\circ$，$\angle BAD = 120^\circ$，
所以$\angle BAE + \angle DAF = \angle BAD - \angle EAF = 60^\circ$，
即$\angle DAG + \angle DAF = 60^\circ$，
所以$\angle GAF = \angle EAF$，
由于$AF = AF$，
根据三角形全等（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，
所以$\bigtriangleup AEF \cong \bigtriangleup AGF$，
根据全等三角形的性质可得：$EF = GF$，
又因为$GF = GD + DF = BE + DF$，
所以$EF = BE + DF$。
(2) 结论仍然成立。理由如下：
延长$FD$到点$G$，使$DG = BE$，连接$AG$，
由于$\angle B + \angle ADF = 180^\circ$，$\angle ADG + \angle ADF = 180^\circ$，
所以$\angle B = \angle ADG$，
又因为$AB = AD$，$BE = DG$，
根据三角形全等（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，
所以$\bigtriangleup ABE \cong \bigtriangleup ADG$，
根据全等三角形的性质可得：$AE = AG$，$\angle BAE = \angle DAG$，
又因为$\angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD$，
所以$\angle BAE + \angle DAF = \angle BAD - \angle EAF = \angle EAF$，
即$\angle DAG + \angle DAF = \angle EAF$，
所以$\angle GAF = \angle EAF$，
由于$AF = AF$，
根据三角形全等（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，
所以$\bigtriangleup AEF \cong \bigtriangleup AGF$，
根据全等三角形的性质可得：$EF = GF$，
又因为$GF = GD + DF = BE + DF$，
所以$EF = BE + DF$。
【答案】：
(1)$EF = BE + DF$；
(2)结论仍然成立，理由如上述解析所示。