《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

1. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题.
(1)探究 1:如图(1),在△ABC 中,O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点,猜想∠BOC 与∠A 之间存在怎样的数量关系,并说明你的猜想.
(2)探究 2:如图(2),O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线 BO 和 CO 的交点,试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系,请说明理由.
(3)探究 3:如图(3),O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线 BO 和 CO 的交点,则∠BOC 与∠A 有怎样的关系,请说明理由.

答案：
1.
(1)
∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)。
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°−(∠1+∠2)=180°−(90°−$\frac{1}{2}$∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A。
(2)∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
如图，
∵BO和CO分别是∠ABC与外角∠ACD的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD。

又∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A+∠1。
∵∠2是△BOC的一个外角，
∴∠BOC=∠2−∠1=($\frac{1}{2}$∠A+∠1)−∠1=$\frac{1}{2}$∠A。
(3)∠BOC=90°−$\frac{1}{2}$∠A。理由如下：
根据三角形外角的性质，得∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC。
∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠DBC+∠BCE)=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)。
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴在△OBC中，∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(90°+$\frac{1}{2}$∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A。

2.(2025·四川成都期末)解答下列问题：
(1)如图(1)所示,BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACM,若∠A= 70°,则∠P= 度；
(2)如图(2)所示,BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACM,求证:∠P= 1/2∠A；
(3)如图(3)所示$,BP_1$平分$∠P₀BC,CP_1$平分$∠P₀CM,BP_2$平分$∠P_1BC,CP_2$平分$∠P_1CM,BP_3$平分$∠P_2BC,CP_3$平分$∠P_2CM,…,$如此操作下去,直到 BPₙ平分$∠Pₙ₋_1BC,CPₙ$平分$∠Pₙ₋_1CM.$若∠P₀= α,请直接写出$∠P_1+∠P_2+∠P_3+…+∠Pₙ$的值.(用含α,n 的代数式表示,其中 n 为正整数)

答案：
2.
(1)35　[解析]如图，
∵BP平分∠ABC，
∴∠1=∠2。
∵CP平分∠ACM，

∴∠3=∠4。
∵∠A+∠ABC=∠ACM，
∴∠A+2∠2=2∠4。
∵∠2+∠P=∠4，
∴2∠2+2∠P=2∠4，
∴2∠2+2∠P=∠A+2∠2，
∴2∠P=∠A。
∵∠A=70°．
∴∠P=35°。
(2)
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠PBC。
∵CP平分∠ACM，
∴∠ACM=2∠PCM。
∵∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠ACM=∠A+2∠PBC。
∵∠PCM=∠P+∠PBC，
∴∠A+2∠PBC=2(∠P+∠PBC)，
∴∠A=2∠P，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A。
(3)由
(2)，可得∠A=2∠P。
∵BP₁平分∠P₀BC，CP₁平分∠P₀CM，BP₂平分∠P₁BC，CP₂平分∠P₁CM，BP₃平分∠P₂BC，CP₃平分∠P₂CM，…，
∴∠P₀=2∠P₁，同理，∠P₁=2∠P₂，
∴∠P₀=2²∠P₂，…，
∴∠P₀=2ⁿ∠Pₙ，
∴∠Pₙ=$\frac{1}{2ⁿ}$∠P₀。
∵∠P₀=α，
∴∠Pₙ=$\frac{1}{2ⁿ}$α，
∴∠P₁+∠P₂+∠P₃+...+∠Pₙ=$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{4}$α+$\frac{1}{8}$α+...+$\frac{1}{2ⁿ}$α=α−$\frac{α}{2ⁿ}$。

3.如图,在平面直角坐标系中,点 A 为 x 轴上的一点,点 B 为 y 轴上的一点,AD 平分∠BAx,BP 平分∠OBA,BP 与 DA 的延长线交于点 P,求∠P 的度数.

答案： 3.
∵∠BAx是△AOB的外角，
∴∠BAx=∠OBA+∠AOB=∠OBA+90°。
∵AD平分∠BAx，BP平分∠OBA，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAx=$\frac{1}{2}$(∠OBA+90°)=$\frac{1}{2}$∠OBA+45°，∠ABP=$\frac{1}{2}$∠OBA，
∴∠P=∠BAD−∠ABP=$\frac{1}{2}$∠OBA+45°−$\frac{1}{2}$∠OBA=45°。