《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

4. (2024·黑龙江中考)为了增强学生的体质,某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动,需购买甲、乙两种品牌毽子. 已知购买甲种品牌毽子 10 个和乙种品牌毽子 5 个共需 200 元;购买甲种品牌毽子 15 个和乙种品牌毽子 10 个共需 325 元.
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元?
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费 1000 元,甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的 5 倍且不超过乙种品牌毽子数量的 16 倍,则有几种购买方案?
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是 5 元,每售出一个乙种品牌毽子利润是 4 元,在(2)的条件下,学校如何购买毽子商家获得利润最大? 最大利润是多少元?

答案：
(1)解：设购买一个甲种品牌毽子需要$x$元，一个乙种品牌毽子需要$y$元。
$\begin{cases}10x + 5y = 200 \\15x + 10y = 325\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 15 \\y = 10\end{cases}$
答：购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元。
(2)解：设购买甲种品牌毽子$m$个，乙种品牌毽子$n$个。
$15m + 10n = 1000$
化简得$3m + 2n = 200$，$m = \frac{200 - 2n}{3}$。
由题意得
$\begin{cases}\frac{200 - 2n}{3} \geq 5n \\frac{200 - 2n}{3} \leq 16n\end{cases}$
解得$\frac{200}{50} \leq n \leq \frac{200}{17}$，即$4 \leq n \leq 11\frac{13}{17}$。
$n$为正整数且$200 - 2n$是3的倍数，$n = 4, 7, 10$。
对应$m = 64, 62, 60$。
答：有3种购买方案。
(3)解：利润$W = 5m + 4n$，将$m = \frac{200 - 2n}{3}$代入得
$W = 5×\frac{200 - 2n}{3} + 4n = \frac{1000 - 10n + 12n}{3} = \frac{1000 + 2n}{3}$。
$W$随$n$增大而增大，当$n = 10$时，$W$最大，$W = \frac{1000 + 20}{3} = 340$。
答：购买甲种品牌毽子60个，乙种品牌毽子10个时商家获得利润最大，最大利润是340元。

5. 某单位给某乡中小学提供一批饮用水和蔬菜共 320 件,其中饮用水比蔬菜多 80 件.
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件?
(2)现计划租用甲、乙两种货车共 8 辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学. 已知每辆甲种货车最多可装饮用水 40 件和蔬菜 10 件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各 20 件,则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案? 请你帮助设计出来.
(3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费 400 元,乙种货车每辆需付运费 360 元. 运输部门应选择哪种方案可使运费最少? 最少运费是多少元?

答案： 【解析】：
(1)此题可以通过设置一元一次方程来解决。设蔬菜有$x$件，则饮用水有$x + 80$件。根据题目描述，两者总数为320，因此可以列出方程$x + (x + 80) = 320$。
(2)此题需要利用不等式组来求解。设租用甲种货车$m$辆，则乙种货车有$8 - m$辆。根据货车的装载量和货物的数量，可以列出两个不等式：
$40m + 20(8 - m) \geq 240$ （装饮用水的数量）
$10m + 20(8 - m) \geq 80$ （装蔬菜的数量）
解这个不等式组可以得到$m$的取值范围，从而确定租车方案。
(3)此题需要计算各方案的总运费，并找出最少运费的方案。总运费可以表示为$W = 400m + 360(8 - m)$，其中$m$为甲种货车的数量。通过计算不同$m$值下的$W$，可以找出最少运费的方案。
【答案】：
(1)解：设蔬菜有$x$件，则饮用水有$x + 80$件。
由题意，$x + (x + 80) = 320$，
解得$x = 120$，
所以饮用水有$x + 80 = 200$件，蔬菜有120件。
(2)解：设租用甲种货车$m$辆，则乙种货车有$8 - m$辆。
由题意，列出不等式组：
$\begin{cases}40m + 20(8 - m) \geq 200 \\10m + 20(8 - m) \geq 120\end{cases}$
解这个不等式组，得到：
$2 \leq m \leq 4$
由于$m$为正整数，因此$m$可以取2，3，4，即有三种方案：
方案一：甲种货车2辆，乙种货车6辆；
方案二：甲种货车3辆，乙种货车5辆；
方案三：甲种货车4辆，乙种货车4辆。
(3)解：总运费$W = 400m + 360(8 - m) = 40m + 2880$，
由于$40 ＞ 0$，因此$W$随着$m$的增大而增大。
所以当$m = 2$时，$W$取得最小值，即$W = 40 × 2 + 2880 = 2960$元。
因此，运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，这样可以使运费最少，最少运费是2960元。

6. 新情境 购买门票 (2023·聊城中考)今年五一小长假期间,我市迎来了一个短期旅游高峰. 某热门景点的门票价格规定见下表:
| 票的种类 | A | B | C |
| :------- | :------ | :------- | :-------- |
| 购票人数/人 | 1～50 | 51～100 | 100 以上 |
| 票价/元 | 50 | 45 | 40 |

某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共 102 人(甲团人数多于乙团). 在打算购买门票时,如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省 730 元.
(1)求两个旅游团各有多少人?
(2)一个人数不足 50 人的旅游团,当游客人数最低为多少人时,购买 B 种门票比购买 A 种门票节省?

答案： 【解析】：
（1）本题可先判断出甲、乙两团的人数范围，再设出甲、乙两团的人数，根据“两团联合作为一个团体购票比两团分别各自购票节省$730$元”列出方程，进而求解两团人数。
判断甲、乙两团人数范围：
已知甲、乙两个旅游团共$102$人（甲团人数多于乙团），且两团联合作为一个团体购票比两团分别各自购票节省$730$元。
因为两团总人数$102\gt100$，所以两团联合购票时，每张门票$40$元。
设甲团有$x$人，则乙团有$(102 - x)$人，因为甲团人数多于乙团，所以$x\gt51$，$102 - x\lt50$。
设未知数并列出方程：
设甲团有$x$人，乙团有$(102 - x)$人。
甲团人数$x$满足$51\leqslant x\leqslant100$，此时甲团票价为$45$元/人；乙团人数$102 - x$满足$1\leqslant102 - x\leqslant50$，此时乙团票价为$50$元/人。
两团联合购票费用为$40×102$元，两团分别购票费用为$45x + 50(102 - x)$元。
根据“两团联合作为一个团体购票比两团分别各自购票节省$730$元”，可列方程：
$45x + 50(102 - x) - 40×102 = 730$
解方程：
$45x + 5100 - 50x - 4080 = 730$
$-5x + 1020 = 730$
$-5x = 730 - 1020$
$-5x = -290$
$x = 58$
则乙团人数为$102 - 58 = 44$（人）。
所以，甲团有$58$人，乙团有$44$人。
（2）本题可通过设未知数，根据“购买$B$种门票比购买$A$种门票节省”列出不等式，进而求解该旅游团的最低人数。
设这个旅游团有$m$人（$m\lt50$）。
购买$A$种门票的费用为$50m$元，购买$B$种门票的费用为$45m$元。
根据“购买$B$种门票比购买$A$种门票节省”，可列不等式：
$45m\lt50m - 50× 1$（这里$50× 1$表示至少节省$1$元，因为人数是整数，节省的费用也至少是$1$元的整数倍）
$50 - 45m\gt0$
$5m\gt50$
$m\gt 45÷5$
$m\gt 45× \frac{1}{5}$
解得$m\gt 45×\frac{1}{1} = 45$，
因为$m$为正整数，所以$m$的最小值为$46$。
再加上$1$人，即$46 + 1 = 46$（当$m = 45$时，$45×50 = 2250$，$45×45 = 2025$，$2250 - 2025 = 225\gt0$，不满足节省的条件，所以人数要大于$45$），当$m = 46$时，$46×50 = 2300$，$46×45 = 2070$，$2300 - 2070 = 230\gt0$，满足条件。
所以，当这个旅游团人数最低为$46$人时，购买$B$种门票比购买$A$种门票节省。
【答案】：
(1)甲团有$58$人，乙团有$44$人；
(2)$46$。