《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

1.(2025·杭州拱墅区期末)一个直角三角形,若三边的平方和为200,则斜边长为(C).
A.8
B.9
C.10
D.11

答案： C　[解析]设直角三角形的三边长分别为a,b,c,其中c为斜边,则由勾股定理,得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
∵一个直角三角形的三边长的平方和为200,
∴$a^{2}+b^{2}+c^{2}=200$,
∴$2c^{2}=200$,
∴$c^{2}=100$,
∴$c = 10$(负值舍去),即斜边长为10.故选C.

2.(2025·吉林长春期末)直角三角形的两边长分别为3 cm 和4 cm,则该直角三角形第三边的长是(D).
A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.5 cm 或√7 cm

答案： D　[解析]当4cm的边长为直角边时,第三边长$=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$(cm);当4cm的边长为斜边时,第三边$=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$(cm).综上所述，第三边的长为5cm或$\sqrt{7}$cm.故选D.

3.(绍兴诸暨中学自主招生)如图,是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y 表示直角三角形的两直角边长(x＞y),请观察图案,指出以下关系式中不正确的是( D ).

$A. x^2+y^2= 49$
$B. x-y= 2$
$C. 2xy+4= 49$
$D. x+y= 13$

答案： D　[解析]A.由正方形的面积可得$x^{2}+y^{2}=49$,故正确;B.由小正方形的面积为4,得小正方形的边长为2,故$x - y = 2$,故正确;C.因为大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，所以$4×\frac{1}{2}xy + 4 = 49$,即$2xy + 4 = 49$,故正确;D.由选项C得$2xy = 45$,又$x^{2}+y^{2}=49$,所以$(x + y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy = 94$,所以$x + y=\sqrt{94}$,故错误.故选D.

4.如图,地面上放着一个小凳子,凳子的高是30 cm,一根细长的木杆一端与墙角 A 重合,木杆靠在凳子的点 B 处,A,B 两点的距离是50 cm,求点 B 离墙的距离.

答案：
如图,过点B作$BD\perp$地面于点D,则$\angle ADB = 90^{\circ}$. 由题意,得$BD = 30$cm,$AB = 50$cm,在$Rt\triangle ABD$中,由勾股定理，得$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{50^{2}-30^{2}} = 40$(cm).故点B离墙的距离为40cm.

5.(浙江自主招生)若直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有(C).
$A. ab= h^2$
$B. 1/a+1/b= 1/h$
$C. 1/a^2+1/b^2= 1/h^2$
$D. a^2+b^2= 2h^2$

答案： C　[解析]
∵$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$,$\therefore h=\frac{ab}{c}$,$\therefore\frac{1}{h}=\frac{c}{ab}$,
∴$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{1}{h^{2}}$.故选C.

6.(2025·山西晋中期中)如图,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,分别以BC,AC,AB为直径向外构造半圆,则图中三个半圆的面积$S_1,S_2,S_3$之间的关系为(B).
$A. S_1+S_2= S_3$
$B. S_1+S_3= S_2$
$C. S_1^2+S_2^2= S_3^2$
$D. S_1^2+S_3^2= S_2^2$

答案： B　[解析]
∵在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,
∴$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$.
∵分别以BC，AC，AB为直径向外构造半圆，三个半圆的面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$,
∴$\frac{1}{2}\pi(\frac{AB}{2})^{2}+\frac{1}{2}\pi(\frac{BC}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi(\frac{AC}{2})^{2}$,
∴$S_{1}+S_{3}=S_{2}$.故选B

7.(2024·辽宁营口大石桥期末)如图,数轴上点 A,B表示的数分别是1,2,过点 B 作 PB⊥AB,以点 B 为圆心,AB 长为半径画弧,交 PB 于点 C,以原点 O 为圆心,OC 长为半径画弧,交数轴于点 M,则点 M 表示的数是(B).

A.√3
B.√5
C.√6
D.√7

答案： B　[解析]由题意可知,$OA = 1$,$OB = 2$,$BC = AB$,$OM = OC$,
∴$BC = AB = OB - OA = 1$.
∵$PB\perp AB$,
∴$\angle OBC = 90^{\circ}$.由勾股定理，得$OC=\sqrt{OB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$.
∴$OM=\sqrt{5}$.则点M表示的数是$\sqrt{5}$.故选B

8. 实验班原创 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点 D,BE⊥AC于点 E,交 AD 于点 F,BF= 10,DF= CD= 6,则 BE= $\frac{56}{5}$.

答案： $\frac{56}{5}$　[解析]
∵$AD\perp BC$,$BE\perp AC$,
∴$\angle ADC=\angle BDF=\angle BEC = 90^{\circ}$,
∴$\angle FBD+\angle C=\angle C+\angle CAD = 90^{\circ}$,
∴$\angle FBD=\angle CAD$.又$DF = DC$,
∴$\triangle BFD\cong\triangle ACD(AAS)$,
∴$AD = BD$,$BF = AC = 10$.在$Rt\triangle BFD$中,
∵$BF = 10$,$DF = 6$,
∴$BD=\sqrt{BF^{2}-DF^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$,
∴$AD = 8$,$BC = BD + DC = 8 + 6 = 14$.
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}AC\cdot BE$,
∴$BE=\frac{BC\cdot AD}{AC}=\frac{14×8}{10}=\frac{56}{5}$.