《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

8.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,过点 O 作 EF//BC 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,过点 O 作 OD⊥AC 于点 D,AB= 5,BC= 7,AC= 3.
(1)求△AEF 的周长;
(2)若 DO= 1,试求△ABC 的面积.

答案：
(1)
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,
∴∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF.
∵EF//BC,
∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,
∴∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,
∴BE=OE,OF=CF,
∴EF=OE+OF=BE+CF,
∴△AEF 的周长=AE+AF+EF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=8.
(2)过点 O 作 OM⊥AB,ON⊥BC,连结 OA,则 ON=OD=OM=1,
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=$\frac{1}{2}$×1×(5+7+3)=$\frac{15}{2}$.

9.转化思想 我们已经学习过角平分线的性质定理,即角平分线上的点到角两边的距离相等.如图,已知△ABC 的角平分线 BD 交边 AC 于点 D.

(1)求证:$\frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle BAD}}= \frac{BC}{AB}$.
(2)求证:$\frac{BC}{AB}= \frac{CD}{AD}$.
(3)如果 BC= 4,AB= 6,AD= 3,那么 CD 的长为多少?
精题详解

答案：

(1)如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,DH⊥AB 于点 H.

∵BD 是△ABC 的角平分线,
∴DF=DH,
∴$\frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle BAD}}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdot DF}{\frac{1}{2}AB\cdot DH}=\frac{BC}{AB}$.
(2)如图,过点 B 作 BE⊥CA于点 E.
∵$\frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle BAD}}=\frac{\frac{1}{2}CD\cdot BE}{\frac{1}{2}AD\cdot BE}=\frac{CD}{AD}$,$\frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle BAD}}=\frac{BC}{AB}$,
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{AD}$.
(3)
∵$\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{AD}$,BC=4,AB=6,AD=3,
∴$\frac{CD}{3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$,
∴CD=2.

10.如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于点 E.

(1)若∠ADC+∠B= 180°,求证:AD+AB= 2AE;
(2)若 AD+AB= 2AE,求证:CD= CB.
精题详解

答案：

(1)如图
(1),过点 C作 CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F.
∵AC平分∠BAD,CE⊥AB 于点 E,
∴CE=CF.又∠FAC=∠EAC,∠F=∠AEC=90°,
∴△ACF≌△ACE(AAS),
∴AE=AF.
∵∠ADC+∠B=180°,∠ADC+∠CDF=180°,
∴∠CDF=∠B.
在△CFD 和△CEB 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CDF=∠B,\\ ∠F=∠CEB,\\ CF=CE,\end{array}\right. $
∴△CFD≌△CEB(AAS),
∴DF=BE.
∴AD+AB=AF - DF+AE+BE=AF+AE=2AE.

(2)如图
(2),延长 AD 至点 G,使 DG=BE,连结 CG.
∵AD+AB=2AE,
∴AG - DG+AE+BE=2AE,即 AG=AE.
∵AC 平分∠BAD,
∴∠EAC=∠GAC.
又 AC=AC,
∴△EAC≌△GAC(SAS),
∴∠G=∠CEA=∠CEB=90°,CG=CE.
在△CGD 和△CEB 中,$\left\{\begin{array}{l} CG=CE,\\ ∠G=∠CEB=90°,\\ DG=BE,\end{array}\right.$
∴△CGD≌△CEB(SAS),
∴CD=CB.