《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

12. (宁波自主招生)甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b元,后来他又以每条$\frac{a+b}{2}$元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是(A).
A.a＞b
B.a＜b
C.a= b
D.与a和b的大小无关

答案： A ［解析］利润=总售价-总成本=$\frac{a+b}{2}×5-(3a+2b)=0.5b-0.5a$，赔钱了说明利润小于0，
∴0.5b-0.5a＜0，
∴a＞b.故选A.

13. (2025·杭州余杭区期中)若x＞y,且(m-1)x＞(m-1)y,则m的取值范围是m＞1.

答案： m＞1 ［解析］
∵x＞y，且(m-1)x＞(m-1)y，
∴m-1＞0，
∴m＞1.

14. 已知实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,试判断下列各式是否成立,并说明理由.

(1)ab＜ac；
(2)a+b＜b+c.

答案： 由数轴，得c＜b＜0＜a.
(1)不成立，由c＜b，a＞0，根据不等式的基本性质3，得ac＜ab.
(2)不成立，由a＞c，根据不等式的基本性质2，得a+b＞b+c.

15. (2025·杭州萧山区期中)根据等式和不等式的性质,我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)①如果a-b＜0,那么a＜b；
②如果a-b= 0,那么a=b；
③如果a-b＞0,那么a＞b.
(2)如(1)中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”,请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若2a+2b-1＞3a+b,比较a,b的大小；
②比较$3a^2-2b+2b^2$与$3a^2+b^2-1$的大小.
(2)①
∵2a+2b-1＞3a+b，
∴(2a+2b-1)-(3a+b)＞0.
∴2a+2b-1-3a-b＞0，
∴b-1-a＞0，
∴b＞a.
②$(3a^2-2b+2b^2)-(3a^2+b^2-1)=3a^2-2b+2b^2-3a^2-b^2+1=b^2-2b+1=(b-1)^2\geq0$，
∴$3a^2-2b+2b^2\geq3a^2+b^2-1$.

答案：
(1)①＜ ②= ③＞
(2)①
∵2a+2b-1＞3a+b，
∴(2a+2b-1)-(3a+b)＞0.
∴2a+2b-1-3a-b＞0，
∴b-1-a＞0，
∴b＞a.
②$(3a^2-2b+2b^2)-(3a^2+b^2-1)=3a^2-2b+2b^2-3a^2-b^2+1=b^2-2b+1=(b-1)^2\geq0$，
∴$3a^2-2b+2b^2\geq3a^2+b^2-1$.

16. (1)用等号或不等号填空.
比较2x与$x^2+1$的大小：
当x= 2时$,2x$＜$x^2+1；$
当x= 1时$,2x$=$x^2+1；$
当x= -1时$,2x$＜$x^2+1.$
(2)任意选取几个x的值,计算并比较2x与$x^2+1$的大小.
当x=3时，2x＜$x^2$+1；当x=-2时，2x＜$x^2$+1.（答案不唯一）
(3)无论x取什么值,2x与$x^2+1$总有这样的大小关系吗？试说明理由.
∵$x^2+1-2x=(x-1)^2\geq0$，
∴2x≤$x^2$+1恒成立.

答案：
(1)＜ = ＜
(2)当x=3时，2x＜$x^2$+1；当x=-2时，2x＜$x^2$+1.（答案不唯一）
(3)无论x取什么值，2x与$x^2+1$总有这样的大小关系吗？试说明理由.
∵$x^2+1-2x=(x-1)^2\geq0$，
∴2x≤$x^2$+1恒成立.

17. (江苏苏州自主招生)5名学生身高两两不同,把他们按从高到低排列,设前三名的平均身高为a米,后两名的平均身高为b米.又前两名的平均身高为c米,后三名的平均身高为d米,则(B).
A.$\frac{a+b}{2}$＞$\frac{c+d}{2}$
B.$\frac{c+d}{2}$＞$\frac{a+b}{2}$
C.$\frac{c+d}{2}$= $\frac{a+b}{2}$
D.以上都不对
]

答案： B ［解析］
∵3a+2b=2c+3d，a＞d，
∴2a+2b＜2c+2d，
∴a+b＜c+d，
∴$\frac{a+b}{2}＜\frac{c+d}{2}$，即$\frac{c+d}{2}＞\frac{a+b}{2}$.故选B.