《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

13. 如果三位数$\overline{abc}$(表示百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$的三位数)，且满足$b ＜ a$或$b ＜ c$，则称这个三位数为“凹数”。求：
(1)从$b = 0$的三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率。
(2)从$b = 1$的三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率。
(3)从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率。

答案：
(1)
∵若$b = 0$,$a$可从 1～9 这 9 个数字中任取 1 个,有 9 种选择,$c$可从 0～9 这 10 个数字中任取 1 个,有 10 种选择,共 90 个数,此时凹数个数有 90 个,
∴$P(b = 0)=\frac{90}{90}=1$。
(2)若$b = 1$,$a$可从 1～9 这 9 个数字中任取 1 个,有 9 种选择,$c$可从 0～9 这 10 个数字中任取 1 个,但要排除 110,111 这 2 个,此时,凹数个数有$90 - 1×2 = 88$(个),
∴$P(b = 1)=\frac{88}{90}=\frac{44}{45}$。
(3)若$b = 2$,$a$可从 1～9 这 9 个数字中任取 1 个,有 9 种选择,$c$可从 0～9 这 10 个数字中任取 1 个,但要排除 120,121,122,220,221,222 这 6 个,此时,凹数个数有$90 - 2×3 = 84$(个)；若$b = 3$,$a$可从 1～9 这 9 个数字中任取 1 个,有 9 种选择,$c$可从 0～9 这 10 个数字中任取 1 个,但要排除 130,131,132,133,230,231,232,233,330,331,332,333 这 12 个,此时,凹数个数有$90 - 3×4 = 78$(个)；……若$b = 8$,凹数个数有$90 - 8×9 = 18$(个)；若$b = 9$,凹数个数有$90 - 9×10 = 0$(个)。
∴在 100～999 这 900 个三位数中,凹数个数共有$90×10-(0×1 + 1×2 + 2×3 + 3×4+\cdots+8×9 + 9×10)=900 - 330 = 570$(个)。
∴从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是$\frac{570}{900}=\frac{19}{30}$。

14.【德阳】下列说法中，正确的个数是(　　　)。
①不可能事件发生的概率为0。
②一个对象在试验中出现的次数越多，频率就越大。
③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值。
④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率。
A.1　　　　　　　　
　B.2　　　　　　　　
　C.3　　　　　　　　
　D.4

答案： C

15.【包头】在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球。若随机摸出一个蓝球的概率为$\frac{1}{3}$，则随机摸出一个红球的概率为(　　　)。
A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　
　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　　
　C. $\frac{5}{12}$　　　　　　　
　D. $\frac{1}{2}$

答案： A

16. 如图为一个污水净化塔内部结构示意图，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1,2,3号出口的出水量之比约为1:4:6。其中正确的有(　　　)。

A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

答案： C