《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

6.七(1)班举行文艺晚会,桌子摆成如图的两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明要先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。

答案：
如图，作点$C$关于$OA$的对称点$C_{1}$，作点$D$关于$OB$的对称点$D_{1}$，连接$C_{1}D_{1}$，分别交$OA$，$OB$于点$P$，$Q$，那么小明沿$C→P→Q→D$的路线行走，所走的总路程最短。

7.如图,某人骑马从村庄A出发，到达小河l边的B处,为了让马能充分吃到河边的青草，他必须沿河前进200m到达C处,然后由C处再赶到村庄D。请你为他设计一条最短的路线。(BC的长度不变)

答案：
如图，先确定$AA' = 200m$，且$AA'//$直线$l$，作点$A$关于直线$l$的对称点$A''$，连接$DA''$，与河岸的交点就是$C$处，在直线$l$上截取$BC = AA'$，$A→B→C→D$即为所求的最短路线。

8.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F两点。若D为BC边的中点,M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为(　　　　)。

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： C

9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10。如果点D,E分别为BC,AB上的动点,那么AD+DE的最小值是(　　　　)。

A.8.4
B.9.6
C.10
D.10.8

答案：
B 【解析】如图，作点$A$关于$BC$的对称点$A'$，连接$A'B$，作$A'E\perp AB$于点$E$，交$BC$于点$D$，则$AD = A'D$，$A'C = AC = 6$，$\therefore AD + DE = A'D + DE\geqslant A'E$。
$\therefore AD + DE$的最小值为$A'E$。
$\because S_{\triangle AA'B}=\frac{1}{2}AA'\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot A'E$，
$\therefore A'E=\frac{AA'\cdot BC}{AB}=\frac{12\times8}{10}=9.6$。
$\therefore AD + DE$的最小值为$9.6$。

10.如图,在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,AD=6,P是AD上的一动点,则PE+PB的最小值为__________。

答案： 6

11.如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB内一点,OP=3,M,N分别是OA,OB上的动点,则△PMN的周长的最小值是__________。

答案：
3 【解析】如图，分别作点$P$关于$OA$，$OB$的对称点$P_{1}$，$P_{2}$，连接$P_{1}P_{2}$交$OA$于点$M$，交$OB$于点$N$，连接$OP_{1}$，$OP_{2}$，$\therefore PM = P_{1}M$，$PN = P_{2}N$，$OP_{1}=OP_{2}=OP$，$\angle P_{1}OA=\angle POA$，$\angle POB=\angle P_{2}OB$。$\therefore\triangle PMN$的周长$=PM + PN + MN = P_{1}M + P_{2}N + MN\geqslant P_{1}P_{2}$。
$\because\angle AOB = 30^{\circ}$，$\therefore\angle P_{1}OP_{2}=2\angle AOB = 60^{\circ}$。
$\therefore\triangle OP_{1}P_{2}$是等边三角形。$\therefore P_{1}P_{2}=OP_{1}=OP = 3$。
$\therefore\triangle PMN$的周长的最小值是$3$。