《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

1. 若$a + b = 1$，则$a^{2}-b^{2}+2b$的值为( )。
A. 4
B. 3
C. 1
D. 0

答案： C

2. 如果$(a - b - 3)(a - b + 3)=40$，那么$a - b$的值为( )。
A. 49
B. 7
C. -7
D. 7或-7

答案： D

3. 计算$2026×2028 - 2027^{2}$的结果是( )。
A. 1
B. -1
C. 2027
D. -2027

答案： B

4. 如图，在边长为$a$的正方形的右下角，剪去一个边长为$b$的小正方形$(a＞b)$，将余下部分拼成一个平行四边形，这一过程可以验证一个关于$a$，$b$的等式为( )。

A. $(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$
B. $a^{2}+ab=a(a + b)$
C. $(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
D. $a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$

答案： D

5. 计算：$103×97=$________。

答案： 9991

6. 填空：$(-7y + x)(________)=49y^{2}-x^{2}$。

答案： −7y−x

7. 用简便方法计算：
(1)$123^{2}-122×124$。 (2)$899×901 + 1$。

答案：
(1)原式=123²−(123−1)×(123+1)=123²−(123²−1²)=1
(2)原式=(900−1)×(900+1)+1 =900²−1²+1=810000。

8. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如$4 = 2^{2}-0^{2}$，$12 = 4^{2}-2^{2}$，$20 = 6^{2}-4^{2}$，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”。
(1)当$28 = m^{2}-n^{2}$时，$m + n=$________。
(2)设两个连续偶数为$2k + 2$和$2k$(其中$k$取非负整数)，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？

答案：
(1)14
(2)(2k+2)²−(2k)²=(2k+2+2k)(2k+2−2k)=2(4k+2)=4(2k+1)。
∵k为非负整数,
∴2k+1一定为正整数。
∴4(2k+1)一定能被4整除,
∴由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数。