《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

6. 如图,AP_{1}为△ABC的中线,AP_{2}为△AP_{1}C的中线,AP_{3}为△AP_{2}C的中线……按此规律,AP_{n + 1}为△AP_{n}C的中线,若△ABP_{1}的面积为1,则△AP_{n}C的面积为( )。

A. 2^{n}
B. $\frac{1}{2^{n}}$
C. 2^{n - 1}
D. $\frac{1}{2^{n - 1}}$

答案： D

7. 如图,已知△ABC中,∠B = ∠C,D是边BC上一点,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥BC,垂足为D,DF交边AC于点F。
(1)当∠A = 40°时,∠DFA = _______,∠EDF = ________。
(2)∠A与∠EDF的数量关系为____________________。

答案：
(1)$160^{\circ}$ $70^{\circ}$
(2)$\angle A + 2\angle EDF = 180^{\circ}$

8. 如图1,E,F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,若AB//CD,BF = DE,BD交AC于点G。
(1)请猜想并验证AE与CF,GE与GF的数量关系。
(2)当E,F两点移动至如图2所示的位置时,其余条件不变,(1)中猜想的结论是否成立?若成立,请给予证明。

答案：
(1)$AE = CF,GF = GE$。理由如下：
$\because AB// CD,\therefore\angle A=\angle C$。
$\because DE\perp AC,BF\perp AC$，
$\therefore\angle AFB=\angle CED = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABF$和$\triangle CDE$中，$\because\begin{cases}\angle A=\angle C,\\\angle AFB=\angle CED,\\BF = DE,\end{cases}\therefore\triangle ABF\cong\triangle CDE(AAS)$。$\therefore AF = CE$。
$\therefore AF - EF = CE - EF$，即$AE = CF$。
在$\triangle GFB$和$\triangle GED$中，$\because\begin{cases}\angle BGF=\angle DGE,\\\angle BFG=\angle DEG = 90^{\circ},\\BF = DE,\end{cases}\therefore\triangle GFB\cong\triangle GED(AAS)$。$\therefore GF = GE$。
(2)$AE = CF,GF = GE$仍然成立。证明如下：同
(1)理得$\triangle ABF\cong\triangle CDE,\therefore AF = CE$。$\therefore AE = CF$。
在$\triangle GFB$和$\triangle GED$中，$\because\begin{cases}\angle BGF=\angle DGE,\\\angle BFG=\angle DEG = 90^{\circ},\\BF = DE,\end{cases}\therefore\triangle GFB\cong\triangle GED(AAS)$。$\therefore GF = GE$。