《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

14.【百色】计算$(a + b - 3)(a + b + 3)$的结果是(　　　)。
A. $a^{2}+b^{2}-9$
B. $a^{2}-b^{2}+6b - 9$
C. $a^{2}+2ab + b^{2}-9$
D. $a^{2}-b^{2}-6b + 9$

答案： C

15.【衢州】有一张边长为$a(cm)$的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加$b(cm)$，木工师傅设计了如图的三种方案：
　　　　　　　
小明发现这三种方案都能验证公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
对于方案一，小明是这样验证的：$a^{2}+ab + ab + b^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程。
方案二：　　　　　　　　　　　　　　　　　方案三：

答案： 方案二:a²+ab+b(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²。
方案三:a²+$\frac{b[a+(a+b)]}{2}$+$\frac{[a+(a+b)]b}{2}$=a²+ab+$\frac{1}{2}$b²+ab+$\frac{1}{2}$b²=a²+2ab+b²=(a+b)²。

16. 阅读材料：把形如$ax^{2}+bx + c$的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫作配方法。配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即$a^{2}\pm2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$。例如：$(x - 1)^{2}+3$，$(x - 2)^{2}+2x$，$(\frac{1}{2}x - 2)^{2}+\frac{3}{4}x^{2}$是$x^{2}-2x + 4$的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项)。
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出$x^{2}-4x + 9$的三种不同形式的配方。
(2)将$a^{2}+ab + b^{2}$进行配方(至少两种形式)。
(3)已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - 3b - 2c + 4 = 0$，求$a + b + c$的值。

答案：
(1)(x−2)²+5,(x−3)²+2x,($\frac{2}{3}$x−3)²+$\frac{5}{9}$x²
(2)a²+ab+b²=(a+b)²−ab,
a²+ab+b²=(a+$\frac{1}{2}$b)²+$\frac{3}{4}$b²。
(3)a²+b²+c²−ab−3b−2c+4
=(a²−ab+$\frac{1}{4}$b²)+($\frac{3}{4}$b²−3b+3)+(c²−2c+1)
=(a²−ab+$\frac{1}{4}$b²)+$\frac{3}{4}$(b²−4b+4)+(c²−2c+1)
=(a−$\frac{1}{2}$b)²+$\frac{3}{4}$(b−2)²+(c−1)²=0,
∴a−$\frac{1}{2}$b=0,b−2=0,c−1=0。
∴a=1,b=2,c=1。
∴a+b+c=4。