《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

11. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了下列四种表示该长方形面积的多项式：①$2(a + b)(m + n)$；②$2a(m + n)+b(m + n)$；③$m(2a + b)+n(2a + b)$；④$2am + 2an + bm + bn$。其中正确的是 (填序号)。

答案： ②③④

12. 计算下列各式，然后回答问题。
$(a + 4)(a + 3)=$ ；$(a + 4)(a - 3)=$ 。
$(a - 4)(a + 3)=$ ；$(a - 4)(a - 3)=$ 。
(1)从上面的计算中总结规律，写出下面式子的计算结果。
$(x + a)(x + b)=$ 。
(2)运用上述结果，写出下列各题的结果。
①$(x + 2027)(x - 1000)=$ 。
②$(x - 2028)(x - 2000)=$ 。

答案： $a^{2}+7a + 12$ $a^{2}+a - 12$ $a^{2}-a - 12$ $a^{2}-7a + 12$
(1)$x^{2}+(a + b)x+ab$
(2)①$x^{2}+1027x - 2027000$ ②$x^{2}-4028x + 4056000$

13. (1)先化简，再求值：$a(a - 3b)+(a + b)^{2}-a(a - b)$，其中$a = 1$，$b=-\frac{1}{2}$。
(2)已知$x^{2}-2x = 1$，求$(x - 1)(3x + 1)-(x + 1)^{2}$的值。

答案：
(1)原式$=a^{2}+b^{2}$。当$a = 1$，$b=-\frac{1}{2}$时，原式$=\frac{5}{4}$。
(2)原式$=2(x^{2}-2x)-2$。$\because x^{2}-2x = 1$，$\therefore$原式$=2\times1 - 2=0$。

14. 在高铁站广场前有一块长为$(2a + b)$m、宽为$(a + b)$m的长方形空地(如图)。计划在中间留两个长方形喷泉(图中阴影部分)，两喷泉及周边留有宽度为$b$(m)的人行通道。
(1)请用代数式表示广场面积并化简。
(2)请用代数式表示两个长方形喷泉(图中阴影部分)的面积并化简。

答案：
(1)广场面积为$(a + b)(2a + b)=(2a^{2}+3ab + b^{2})m^{2}$。
(2)两个长方形喷泉(图中阴影部分)的面积为：$(a + b - b - b)(2a + b - 3b)=(a - b)(2a - 2b)=(2a^{2}-4ab + 2b^{2})m^{2}$。