《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

13. 【广西】计算$(2x - 1)(1 - 2x)$的结果是(　　　)。
A. $4x^{2}-1$
B. $1 - 4x^{2}$
C. $-4x^{2}+4x - 1$
D. $4x^{2}-4x + 1$

答案： C

14. 【黔东南】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释$(a + b)^{n}$的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”。

根据“杨辉三角”，计算$(a + b)^{20}$的展开式中第三项的系数为(　　　)。
A. 2017
B. 2016
C. 191
D. 190

答案： D

15. 利用我们学过的知识，可以得到下面形式优美的等式：$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac=\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]$，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美。
(1)请你检验这个等式的正确性。
(2)若$a = 2026$，$b = 2027$，$c = 2028$，你能很快求出$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac$的值吗？

答案：
(1)右边$=\frac{1}{2}(a^{2}-2ab + b^{2}+b^{2}-2bc + c^{2}+c^{2}-2ac + a^{2})=\frac{1}{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=$左边，$\therefore$这个等式是正确的
(2)当$a = 2026$，$b = 2027$，$c = 2028$时，
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$
$=\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]$
$=\frac{1}{2}\times[(2026 - 2027)^{2}+(2027 - 2028)^{2}+(2028 - 2026)^{2}]$
$=\frac{1}{2}\times(1 + 1+4)=3$