《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

23. (12分)图1是一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形。

(1)求图2中的阴影部分的正方形的周长。
(2)观察图2,请写出下列三个代数式$(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$之间的等量关系。
(3)运用你所得到的公式,计算:若$m$，$n$为有理数,且$mn = -3$，$m - n = 4$，试求$m + n$的值。
(4)如图3,点$C$是线段$AB$上的一点,以$AC$，$BC$为边向两边作正方形,设$AB = 8$，两正方形的面积和$S_{1}+S_{2}=26$，求图中阴影部分的面积。

答案：
(1)4a−4b
(2)大正方形面积可以看作四个长方形面积加阴影面积，可表示为:4ab+(a−b)²,
大正方形边长为a十b,故面积也可以表示为:(a+b)²,
∴(a+b)²=(a−b)²+4ab。
(3)由
(2)可知(m+n)²=(m−n)²+4mm,
已知m−n=4,mn=−3,
∴(m+n)²=16+4×(−3)=4。
∴m+n=±2。
(4)设AC=a,BC=b。
∵AB=8,S1+S2=26,
∴a+b=8,a²+b²²=26。
∵(a+b)²=a²+b²+2ab,
∴64=26+2ab,解得ab=19。
由题意得∠ACF=90°,
∴S阴影=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{19}{2}$