《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

9. 计算$(a + 1)(a - 1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)$的结果是(　　　)。
A. $a^{8}-1$　　　　　　　　　　　　　　　　
　B. $a^{8}-a^{4}+1$
C. $a^{8}-2a^{4}+1$　　　　　　　　　　　　　　
　D. 以上答案都不对

答案： A

10. 若用平方差公式计算$(x - y + 5)(x + y + 5)$，则可将原式变形为(　　　)。
A. $[(x - y)+5][(x + y)+5]$　　　　　　
　B. $[(x + 5)-y][(x + 5)+y]$
C. $[(x - y)+5][(x - y)-5]$　　　　　　
　D. $[x-(y + 5)][x+(y + 5)]$

答案： B

11. 若$m^{2}-n^{2}=6$，且$m - n = 2$，则$3m + 3n=$________。

答案： 9

12. 计算：$(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)=$________。

答案： 2¹⁶ - 1

13. 计算：
(1)$(3x + 2y)(3x - 2y)(9x^{2}+4y^{2})$。　　　　　(2)$(a - b)(a + b)-(a + 3b)(a - 3b)$。
(3)$(x - 2y)(x + 2y)(2x - y)(2x + y)$。　　　(4)$(x^{2}+2)(x^{2}-2)-(x - 2)(x + 2)$。

答案：
(1)81x⁴ - 16y⁴　
(2)8b²　
(3)4x⁴ - 17x²y² + 4y⁴
(4)x⁴ - x²

14. 阅读下列材料并填空：
①$(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2^{2}}$，反过来，得$1-\frac{1}{2^{2}}=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$。
②$(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})=1-\frac{1}{3^{2}}$，反过来，得$1-\frac{1}{3^{2}}=(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$。
③$(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})=1-\frac{1}{4^{2}}$，反过来，得$1-\frac{1}{4^{2}}=(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$。
利用上面材料中的方法和结论计算：
$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})\cdots(1-\frac{1}{2025^{2}})$。

答案： ② $\frac{2}{3}$ $\frac{4}{3}$ ③(1 - $\frac{1}{4}$)(1 + $\frac{1}{4}$)
原式 = $\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×···×$\frac{2024}{2025}$×$\frac{2026}{2025}$
= $\frac{1013}{2025}$。