《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

20. (8分)如图,有一座假山D,在BD的中点C处有一个雕塑,小明从点A出发,沿直线AC一直向前经过点C走到点E,并使CE=CA,然后他测量点E到假山D的距离,则DE的长度就是A,B两点之间的距离。
(1)你能说明小明这样做的根据吗？
(2)如果小明未带测量工具,但是知道A和假山、雕塑分别相距200m,120m,你能帮助他确定AB的长度范围吗？
　　　　

答案：

(1)$\because C$是$BD$的中点，$\therefore BC = DC$。
在$\triangle ACB$和$\triangle ECD$中，$\because\begin{cases}CA = CE,\\\angle ACB = \angle ECD,\\BC = DC,\end{cases}$
$\therefore\triangle ACB\cong\triangle ECD(SAS)$。$\therefore AB = DE$。
(2)如图，连接$AD$。
由题意得$AD = 200m$，$AC = 120m$，$\therefore AE = 240m$。
$\therefore 40m ＜ DE ＜ 440m$。
$\therefore 40m ＜ AB ＜ 440m$。

21. (10分)如图1,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=50°。
(1)求证:AC=BD且∠APB=50°。
(2)如图2,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系为____________________,∠APB的大小为__________。
　　　　　　　　　　

答案：
(1)$\because\angle AOB=\angle COD$，$\therefore\angle AOC=\angle BOD$。
在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中，$\because\begin{cases}OA = OB,\\\angle AOC = \angle BOD,\\OC = OD,\end{cases}$
$\therefore\triangle AOC\cong\triangle BOD(SAS)$。
$\therefore AC = BD$，$\angle CAO=\angle DBO$。
$\because\angle CAO+\angle AOB=\angle DBO+\angle APB$，
$\therefore\angle APB=\angle AOB = 50^{\circ}$。
(2)$AC = BD$ $\alpha$