《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

9. 若一个非零的自然数能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，例如$28 = 8^{2}-6^{2}$，则28是一个“智慧数”。下列各数中，不是“智慧数”的是( )。
A. 987
B. 988
C. 30
D. 32

答案： C

10. 若$S=(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})\cdots(1-\frac{1}{2028^{2}})$，则$S$的值为( )。
A. $\frac{2025}{2028}$
B. $\frac{2027}{2028}$
C. $\frac{2027}{4056}$
D. $\frac{2029}{4056}$

答案： D

11. 化简：$6(7 + 1)(7^{2}+1)(7^{4}+1)(7^{8}+1)(7^{16}+1)+1=$________。

答案： 7³²

12. 化简：
(1)$(\frac{1}{3}x + y)(\frac{1}{3}x - y)(\frac{1}{9}x^{2}+y^{2})$。 (2)$(2x - 3y)(3y + 2x)-(4y - 3x)(3x + 4y)$。

答案：
(1)原式 = (\frac{1}{9}x² - y²)(\frac{1}{9}x² + y²)=\frac{1}{81}x⁴ - y⁴。
(2)原式 = 4x² - 9y² - 16y² + 9x² = 13x² - 25y²。

13. 阅读并完成下列各题：
通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便。相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦。
【例】用简便方法计算$995×1005$。
解：$995×1005$
$=(1000 - 5)×(1000 + 5)$①
$=1000^{2}-5^{2}$②
$=999975$。
(1)例题求解过程中，第②步变形是利用________________(填乘法公式的名称)。
(2)用简便方法计算：
①$9×11×101×10001$。
②$(m + n)(m^{2}+n^{2})(m^{4}+n^{4})(m^{8}+n^{8})(m^{16}+n^{16})$。

答案：
(1)平方差公式
(2)①原式 = (10 - 1)×(10 + 1)×101×10001= (100 - 1)×(100 + 1)×10001= (10000 - 1)×(10000 + 1)= 99999999。②当m≠n时，原式 = \frac{1}{m - n}(m - n)(m + n)(m² + n²)·(m⁴ + n⁴)(m⁸ + n⁸)(m¹⁶ + n¹⁶)=\frac{m³² - n³²}{m - n}；当m = n时，原式 = 2m·2m²·…·2m¹⁶ = 32m³¹。