《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

12. 如图，O为△ABC内部一点，OB = $\frac{7}{2}$，P，R为点O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点。
(1)请指出当∠ABC为多少时，会使PR的长度等于7，并完整说明PR的长度在此时会等于7的理由。
(2)请判断当∠ABC不是(1)中你指出的角度时，PR的长度是小于7还是大于7，并完整说明你判断的理由。

答案：

(1) 当 $\angle ABC = 90^{\circ}$ 时，$PR = 7$。
理由如下：如图，连接 $PO$，$PB$，$RO$，$RB$。
$\because P$，$R$ 为点 $O$ 分别以直线 $AB$、直线 $BC$ 为对称轴的对称点，$\therefore PB = OB=\frac{7}{2}$，$RB = OB=\frac{7}{2}$。$\because \angle ABC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABP+\angle CBR=\angle ABO+\angle CBO=\angle ABC = 90^{\circ}$。
$\therefore P$，$B$，$R$ 三点共线。$\therefore PR = 2\times\frac{7}{2}=7$。

(2) $PR$ 的长度小于 $7$。理由如下：$\because \angle ABC\neq90^{\circ}$，
$\therefore P$，$B$，$R$ 三点不在同一直线上。$\therefore PB + BR＞PR$。
$\because PB + BR = 2OB = 2\times\frac{7}{2}=7$，$\therefore PR＜7$。

13.【天津】在美术字中，有的汉字是轴对称图形。下面4个美术字中，可以看作轴对称图形的是( )。

答案： C

14. 如图，已知∠AOB = 45°，其内部有一点P关于OA的对称点是M，关于OB的对称点是N，且OP = 4 cm，则S△MON = ________。

答案： $8\ cm^{2}$

15. 如图，光线照射到平面镜Ⅱ上，然后在平面镜Ⅰ，Ⅱ之间来回反射，已知∠α = 50°，∠θ = 35°，求∠β的度数。

答案：
如图，分别过入射点作垂线，根据反射角等于入射角可知：
$\angle1=\angle2$，$\angle3=\angle4$，$\angle5=\angle6$，$\angle\alpha+\angle1=\angle2+\angle7$。
$\because \angle\alpha = 50^{\circ}$，$\therefore \angle7 = 50^{\circ}$，$\angle1=\angle2 = 40^{\circ}$。
$\because \angle\theta = 35^{\circ}$，$\therefore \angle5=\angle6 = 55^{\circ}$。
$\because \angle7+\angle3+\angle4 = 180^{\circ}-\angle BFA=\angle5+\angle6+\angle\theta = 55^{\circ}+55^{\circ}+35^{\circ}=145^{\circ}$，
$\therefore \angle3+\angle4 = 95^{\circ}$。$\therefore \angle3=\angle4 = 47.5^{\circ}$。
$\therefore \angle\beta = 90^{\circ}-47.5^{\circ}=42.5^{\circ}$。