《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

8. 设$(5a + 3b)^{2}=(5a - 3b)^{2}+A$，则$A$等于(　　　)。
A. $30ab$
B. $15ab$
C. $60ab$
D. $12ab$

答案： C

9. 已知$(3x + 2y)^{2}+(2x - 3y)^{2}=26$，则$x^{2}+y^{2}$的值等于(　　　)。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B

10. 已知$m_{1},m_{2},\cdots,m_{2017}$是从0,1,2这三个数中取值的一列数，若$m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{2017}=1527$，$(m_{1}-1)^{2}+(m_{2}-1)^{2}+\cdots +(m_{2017}-1)^{2}=1510$，则在$m_{1},m_{2},\cdots,m_{2017}$中，取值为2的个数为______。

答案： 510

11. 计算：
(1)$(x + 3)(x - 3)(x^{2}-9)$。
(2)$(a + b + c)^{2}-(2a - b + 3c)^{2}$。

答案：
(1)原式$=x^{4}-18x^{2}+81$
(2)原式$=-3a^{2}-8c^{2}+6ab + 8bc-10ac$

12. 有一系列等式：
$1×2×3×4 + 1 = 5^{2}=(1^{2}+3×1 + 1)^{2}$。
$2×3×4×5 + 1 = 11^{2}=(2^{2}+3×2 + 1)^{2}$。
$3×4×5×6 + 1 = 19^{2}=(3^{2}+3×3 + 1)^{2}$。
$4×5×6×7 + 1 = 29^{2}=(4^{2}+3×4 + 1)^{2}$。
(1)根据你观察、归纳、发现的规律，直接写出$8×9×10×11 + 1$的结果。
(2)试猜想$n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+1$是哪一个数的平方，并予以证明。

答案：
(1)$89^{2}$
(2)$n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+1=(n^{2}+3n + 1)^{2}$
理由如下：等式左边$=(n^{2}+3n)(n^{2}+3n + 2)+1=n^{4}+6n^{3}+9n^{2}+2n^{2}+6n + 1=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n + 1$，等式右边$=(n^{2}+3n + 1)^{2}=(n^{2}+1)^{2}+2\cdot3n\cdot(n^{2}+1)+9n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1+6n^{3}+6n + 9n^{2}=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n + 1$，
$\therefore$左边 = 右边。