《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

17. 已知直线l₁//l₂，l₃，l₄和l₁，l₂分别交于点A，B，C，D，点P在直线l₃或l₄上且不与点A，B，C，D重合。记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3。
(1)若点P在如图1的位置，求证：∠3=∠1+∠2。
(2)若点P在如图2的位置，请写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给予证明。
(3)若点P在如图3的位置，写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给予证明。

答案：

(1)如图1，过点$P$作$PQ// l_{1}$，则$PQ// l_{2}$。$\therefore\angle 1=\angle QPE,\angle 2=\angle QPF$（两直线平行，内错角相等）。
$\because\angle 3=\angle QPE+\angle QPF,\therefore\angle 3=\angle 1+\angle 2$。

(2)关系：$\angle 3=\angle 2-\angle 1$。
如图2，过点$P$作$PQ// l_{1}$，则$PQ// l_{2}$。
$\therefore\angle 1=\angle QPE,\angle 2=\angle QPF$（两直线平行，内错角相等）。$\because\angle 3=\angle QPF-\angle QPE,\therefore\angle 3=\angle 2-\angle 1$。

(3)关系：$\angle 3 = 360^{\circ}-\angle 1-\angle 2$。
如图3，过点$P$作$PQ// l_{1}$，则$PQ// l_{2}$。
同
(1)可证得$\angle 3=\angle CEP+\angle DFP$。
$\because\angle CEP+\angle 1 = 180^{\circ},\angle DFP+\angle 2 = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle CEP+\angle DFP+\angle 1+\angle 2 = 360^{\circ}$，
即$\angle 3 = 360^{\circ}-\angle 1-\angle 2$。