《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

8. 如图，$AD$，$BE$，$CF$依次为$\triangle ABC$的高、中线和角平分线。下列式子中错误的是( )。

A. $AE = CE$
B. $\angle ADC = 90^{\circ}$
C. $\angle CAD=\angle CBE$
D. $\angle ACB = 2\angle ACF$

答案： C

9. 有下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的角平分线、中线、高都在三角形内部；③三角形的三条高中至少有一条在三角形内部；④只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形。其中正确的是________。(填序号)

答案： ①③

10. 如图，某市有三个车站$A$，$B$，$C$成三角形，一辆公共汽车从$B$站前往$C$站。
(1)当汽车运动到点$D$时，刚好$BD = CD$，连接线段$AD$，$AD$是什么线段？这样的线段在$\triangle ABC$中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
(2)汽车继续向前运动，当运动到点$E$时，发现$\angle BAE=\angle CAE$，则$AE$是什么线段？这样的线段在$\triangle ABC$中有几条呢？
(3)汽车继续向前运动，当运动到点$F$时，发现$\angle AFB=\angle AFC = 90^{\circ}$，则$AF$是什么线段？这样的线段在$\triangle ABC$中又有几条呢？

答案：
(1)$AD$是$\triangle ABC$中$BC$边上的中线，三角形中有三条中线。此时$\triangle ABD$与$\triangle ADC$的面积相等。
(2)$AE$是$\triangle ABC$中$\angle BAC$的平分线，三角形中有三条角平分线。
(3)$AF$是$\triangle ABC$中$BC$边上的高，三角形中有三条高。

11. 如图，$AD$为$\triangle ABC$的中线，$BE$为$\triangle ABD$的中线。
(1)若$\angle ABE = 25^{\circ}$，$\angle BAD = 50^{\circ}$，则$\angle BED =$________$^{\circ}$。
(2)在$\triangle ADC$中，过点$C$作$AD$边上的高$CH$。
(3)若$\triangle ABC$的面积为60，$BD = 5$，求点$E$到$BC$边的距离。

答案：

(1)$75$
(2)如图1，$CH$为所求的高。

(3)如图2，过点$E$作$EF⊥BD$于点$F$。
$\because AD$是$\triangle ABC$的中线，$\therefore BD = CD$。
$\therefore S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times60 = 30$。
同理$S_{\triangle BED}=S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\times30 = 15$。
又$\because S_{\triangle BED}=\frac{1}{2}BD\cdot EF=\frac{1}{2}\times5\times EF = 15$，
$\therefore EF = 6$，即点$E$到$BC$边的距离为$6$。