《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

24. (12分)根据以下10个乘积,回答问题:
$11\times29$；$12\times28$；$13\times27$；$14\times26$；$15\times25$；$16\times24$；$17\times23$；$18\times22$；$19\times21$；$20\times20$。
(1)试将以上各乘积分别写成“$a^{2}-b^{2}$”(两数平方差)的形式,并写出其中一个的思考过程。
(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来。
(3)若用$a_{1}b_{1}$，$a_{2}b_{2}$，$\cdots$，$a_{n}b_{n}$表示$n$个乘积,其中$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$\cdots$，$a_{n}$，$b_{1}$，$b_{2}$，$b_{3}$，$\cdots$，$b_{n}$均为正数。试由(1)和(2)猜测一个一般性的结论。(不要求证明)

答案：
(1)11×29=20²−9²;12×28=20²−8²;
13×27=20²−7²;14×26=20²−6²;
15×25=20²−5²;16×24=20²−4²;
17×23=20²−3²;18×22=20²−2²;
19×21=20²−1²;20×20=20²−0²。
思考过程:例如11×29,不妨假设11×29=a²−b²。
∵a²−b²=(a+b)(a−b),
∴可以令a−b=11,a+b=29,
解得α=20,b=9。
∴11×29=20²−9²。
[或11×29=(20−9)×(20+9)=20²−9²。]
(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是:11×29 ＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20
(3)①若a+b=40,a,b是正数,则ab≤20²=400。
②若a+b=40,则ab≤20²=400
　　　　　　　　　　　　　　　　2
③若a+b=m;,a,b是正数,则ab6＜$\frac{m}{2}$
　　　　　　　　　　　2
④若α+b=m,则abb＜4$\frac{m}{2}$
⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=..=a+b=40,
且|a1−b1|≥1a2−b2≥1a3−b≥,,.≥1an−b1|,
则alb1≤a2b2≤a3b3≤...≤abn
⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=...=a+b=m,
且1a1−b1|≥1a2−b2|≥1a3−b3|≥,,,≥1an−b1|,
则ab1≤a2b2≤ab3≤...≤anbn
(任意写出一个结论即可)