《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

14.【宁夏】如图，从边长为$a$的大正方形中剪掉一个边长为$b$的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形。根据图形的变化过程写出的一个正确等式是( )。

A. $(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$
B. $a(a - b)=a^{2}-ab$
C. $(a - b)^{2}=a^{2}-b^{2}$
D. $a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$

答案： D

15. 计算$(250 + 0.9 + 0.8 + 0.7)^{2}-(250 - 0.9 - 0.8 - 0.7)^{2}$的值为( )。
A. 11.52
B. 23.04
C. 1200
D. 2400

答案： D

16. 阅读下面的材料：
学完平方差公式后，小军展示了以下例题：
【例】求$(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)+1$的值的末位数字。
解：原式$=(2 - 1)(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^{4}-1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^{8}-1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^{16}-1)(2^{16}+1)+1$
$=2^{32}$。
由$2^{n}$($n$为正整数)的末位数字的规律，可得$2^{32}$的末位数字是6。
爱动脑筋的小明，想出了一种新的解法：因为$2^{2}+1 = 5$，而$2 + 1$，$2^{4}+1$，$2^{8}+1$，$2^{16}+1$均为奇数，几个奇数与5相乘，末位数字是5，这样原式的末位数字是6。
在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学好数学。
请解答下列问题：
(1)计算$(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{3}+1)(2^{4}+1)(2^{5}+1)\cdots(2^{n}+1)+1$($n$为正整数)的值的末位数字是________。
(2)计算$2(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)+1$的值的末位数字是________。
(3)计算：$2(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)+1$。

答案：
(1)6　
(2)1
(3)原式 = (3 - 1)(3 + 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1)+ 1= (3² - 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1)+ 1= (3⁴ - 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1)+ 1= (3⁸ - 1)(3⁸ + 1)+ 1= (3¹⁶ - 1)+ 1= 3¹⁶