《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

13.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DH⊥AC于点H，DM=DN。
(1)在线段AB上找一点P，使AP=AN，连接DP，求证：DP=DM。
(2)若△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80，求△DHN的面积。

答案：

(1)如图，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAP = ∠DAN。在△APD和△AND中，
∵$\begin{cases}AP = AN,\\∠PAD = ∠NAD,\\AD = AD,\end{cases}$
∴△APD≌△AND(SAS)。
∴PD = ND。
∵DM = DN，
∴DP = DM。
(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G。由
(1)得DP = DM，
∴PG = MG。
∴S_{△DPG}=S_{△DMG}。
∵∠DAG = ∠DAH，∠AGD = ∠AHD = 90°，AD = AD，
∴△ADG≌△ADH(AAS)。
∴S_{△ADG}=S_{△ADH}。
∴S_{△DPG}=S_{△DNH}=S_{△DMG}。
∵△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80，
∴△DHN的面积 = △DPG的面积=$\frac{1}{2}(100 - 80)=10$。
　　　　　　　

14.【绵阳】如图，在△ABC中，AB=5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为(　　　　)。


A.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　B.2
C.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　D.5

答案： B

15.【宜昌】如图，一块余料ABCD，AD//BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于$\frac{1}{2}$GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E。
(1)求证：AB=AE。
(2)若∠A=100°，求∠EBC的度数。

答案：
(1)
∵AD//BC，
∴∠AEB = ∠EBC。
由题意知，BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBC = ∠ABE。
∴∠AEB = ∠ABE。
∴AB = AE。
(2)
∵∠A = 100°，∠ABE = ∠AEB，
∴∠ABE = ∠AEB = 40°。
∵AD//BC，
∴∠EBC = ∠AEB = 40°。

16.如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACB=116°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=58°。
(1)求∠ACE的度数。
(2)若AC+CD=16，AB=10，且S_{△ACD}=24，求△ABE的面积。

答案：

(1)
∵∠ACB = 116°，
∴∠ACD = 180° - ∠ACB = 64°。
∵EH⊥BD，∠CEH = 58°，
∴∠DCE = 90° - 58° = 32°。
∴∠ACE = ∠ACD - ∠DCE = 64° - 32° = 32°。
(2)如图，过点E作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N。
由
(1)得，CE平分∠ACD，
∵BE平分∠ABC，
∴EM = EH = EN。设EM = EH = EN = x。
∵S_{△ACD}=24，
∴S_{△ACE}+S_{△DCE}=24。
∴$\frac{1}{2}AC\cdot EN+\frac{1}{2}CD\cdot EH = 24$，
即$\frac{1}{2}EM\cdot(AC + CD)=24$。
∴$\frac{1}{2}x\times16 = 24$，解得x = 3。
∴EM = 3。
∵AB = 10，
∴△ABE的面积为$\frac{1}{2}AB\cdot EM=\frac{1}{2}\times10\times3 = 15$。