《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

12.(1)如图1,一直线同侧有两点A,B,在直线上求作一点C,使它到A,B两点的距离之和最小。(保留作图痕迹,不写作法)
(2)如图2,点P在∠AOB内部,试在OA,OB上分别找出点E,F,使△PEF的周长最短。(保留作图痕迹,不写作法)
(3)①如图3,已知五边形ABCDE,在BC,DE上分别找出点M,N,使得△AMN的周长最短。(保留作图痕迹,不写作法)
②若∠BAE=125°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,∠AMN+∠ANM的度数为__________。

答案：

(1)如图1。

(2)如图2。

(3)①如图3。

②$\because\angle BAE = 125^{\circ}$，$\therefore\angle P+\angle Q = 180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ}$。
由轴对称得$\angle PAM=\angle P$，$\angle QAN=\angle Q$，
$\therefore\angle PAM+\angle QAN=\angle P+\angle Q = 55^{\circ}$。
$\therefore\angle MAN=\angle BAE - (\angle PAM+\angle QAN)=70^{\circ}$。
$\therefore\angle AMN+\angle ANM = 180^{\circ}-\angle MAN = 110^{\circ}$。

13.[营口]如图,P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,M,N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是(　　　　)。

A.25°
B.30°
C.35°
D.40°

答案： B

14.[绥化]如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点,点M,N分别为射线OA,OB上的两个动点,当△PMN的周长最小时,∠MPN=__________。

答案： $80^{\circ}$

15.如图,∠ABN=60°,C为射线BN上一定点,E为线段AB延长线上一定点,且BE=AB=12,点A关于射线BN的对称点为D,连接BD,CD,DE。
(1)求证:∠BAC=∠BDC。
(2)若P为直线BC上一个动点,求△PDE的周长最小时,点P所在的位置,并求出△PDE周长的最小值。

答案：

(1)连接$AD$，如图。$\because$点$A$关于射线$BN$对称点为$D$，$\therefore BN$垂直平分$AD$。$\therefore BA = BD$，$CA = CD$。
在$\triangle BAC$和$\triangle BDC$中，$\because\begin{cases}BA = BD\\BC = BC\\CA = CD\end{cases}$，
$\therefore\triangle BAC\cong\triangle BDC(SSS)$。$\therefore\angle BAC=\angle BDC$。
(2)如图，连接$PA$，$PD$，$PE$。$\because\triangle BAC\cong\triangle BDC$，
$\therefore\angle DBN=\angle ABN = 60^{\circ}$，$\therefore\angle ABD = 120^{\circ}$。
$\because BE = BA$，$BA = BD$，$\therefore BE = BD$。$\therefore\angle E=\angle BDE$。
$\because\angle ABD=\angle E+\angle BDE$，$\therefore\angle E=\angle BDE = 60^{\circ}$。
易得$\triangle BDE$为等边三角形。$\therefore DE = BE = 12$。
$\because BN$垂直平分$AD$，$\therefore PA = PD$。$\therefore PE + PD = PE + PA$。$\because PE + PA\geqslant AE$（当且仅当$P$，$A$，$E$共线时取等号），$\therefore$当点$P$运动到点$B$时，$PE + PA$的最小值为$24$，此时$\triangle PDE$周长的最小值为$36$。