《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

9. 一个长方形的面积为$4a^{2}-2ab$，且一边长为$2a$，则该长方形的周长为 。

答案： $8a - 2b$

10. 若$3x^{2}+kx + 4$被$3x - 1$除后余2，则$k$的值为 。

答案： $-7$

11. 丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式$A$作被除式，娜娜报的整式$B$作除式，要求商式必须为$-3xy$(即$A\div B=-3xy$)。
(1)若丽丽报的是$x^{3}y - 6xy^{2}$，则娜娜应报什么整式？
(2)若娜娜报的是$x^{3}y - 6xy^{2}$，则丽丽能报一个整式吗？若能，请写出这个整式。

答案：
(1)$\because A=x^{3}y-6xy^{2}$，
$\therefore B=(x^{3}y-6xy^{2})\div(-3xy)=-\frac{1}{3}x^{2}+2y$。
(2)能。$A=(x^{3}y-6xy^{2})(-3xy)=-3x^{4}y^{2}+18x^{2}y^{3}$。

12. 已知多项式$x^{3}-2x^{2}+ax - 2$除以多项式$bx - 1$，商式为$x^{2}-x + 2$，求$a$，$b$的值。

答案： 由题意得$x^{3}-2x^{2}+ax - 2=(bx - 1)(x^{2}-x + 2)$，
$\therefore x^{3}-2x^{2}+ax - 2=bx^{3}-(b + 1)x^{2}+(2b + 1)x-2$。
$\therefore b = 1$，$b + 1=2$，$a = 2b + 1$。$\therefore a = 3$，$b = 1$。

13. 一个长方形的面积为$a^{2}+2a$，若一边长为$a$，则另一边长为 。

答案： $a + 2$

14.【武汉】计算：$[a^{3}\cdot a^{5}+(3a^{4})^{2}]\div a^{2}$。

答案： 原式$=(a^{8}+9a^{8})\div a^{2}=10a^{8}\div a^{2}=10a^{6}$。

15. 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算。例如$(7x + 2+6x^{2})\div(2x + 1)$，仿照$672\div21$计算如图。因此$(7x + 2+6x^{2})\div(2x + 1)=3x + 2$。
(1)阅读上述材料后，试判断$x^{3}-x^{2}-5x - 3$能否被$x + 1$整除，并说明理由。
(2)若多项式$2x^{4}-3x^{3}+ax^{2}+7x + b$能被$x^{2}+x - 2$整除，求$\frac{a}{b}$的值。

答案：

(1)$x^{3}-x^{2}-5x - 3$能被$x + 1$整除。理由如下:
　　　　　　　
(2)若多项式$2x^{4}-3x^{3}+ax^{2}+7x + b$能被$x^{2}+x - 2$整除，则有
　　　　　
$\therefore a + 9=-3$，$a=-12$，$b = 6$。$\therefore\frac{a}{b}=-2$。