《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

16.【河池】(1)如图1,已知CE与AB交于点E,AC = BC,∠1 = ∠2。求证:△ACE≌△BCE。
(2)如图2,已知CD的延长线与AB交于点E,AD = BC,∠3 = ∠4。探究AE与BE的数量关系,并说明理由。
　　　　
　　　　
　　　　

答案：

(1) 在$\triangle ACE$和$\triangle BCE$中，
$\because\begin{cases}AC = BC,\\\angle 1=\angle 2,\\CE = CE,\end{cases}\therefore\triangle ACE\cong\triangle BCE(SAS)$。
(2) $AE = BE$。理由如下：
如图，在$CE$上截取$CF = DE$，连接$BF$。

在$\triangle ADE$和$\triangle BCF$中，$\because\begin{cases}AD = BC,\\\angle 3=\angle 4,\\CF = DE,\end{cases}$
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle BCF(SAS)$。
$\therefore AE = BF$，$\angle AED=\angle BFC$。
$\because\angle AED+\angle BEF = 180^{\circ}$，$\angle CFB+\angle EFB = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle BEF=\angle EFB$。$\therefore BE = BF$。$\therefore AE = BE$。

17. 如图1,AB = 4 cm,AC⊥AB于点A,BD⊥AB于点B,AC = BD = 3 cm。点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动。它们运动的时间为t(s)。
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t = 1时，△ACP与△BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系。
(2)如图2,将图1中的“AC⊥AB于点A,BD⊥AB于点B”改为“∠CAB = ∠DBA = 60°”，其他条件不变。设点Q的运动速度为x(cm/s),是否存在x,使得△ACP与△BPQ全等？若存在,求出相应的x,t的值;若不存在,请说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1) 当$t = 1$时，$AP = BQ = 1$，$BP = AC = 3$。
$\because AC\perp AB$，$BD\perp AB$，$\therefore\angle A=\angle B = 90^{\circ}$。
在$\triangle ACP$和$\triangle BPQ$中，$\because\begin{cases}AP = BQ,\\\angle A=\angle B,\\AC = BP,\end{cases}$
$\therefore\triangle ACP\cong\triangle BPQ(SAS)$。$\therefore\angle ACP=\angle BPQ$。
$\therefore\angle APC+\angle BPQ=\angle APC+\angle ACP = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle CPQ = 90^{\circ}$，即线段$PC$与线段$PQ$垂直。
(2) ①若$\triangle ACP\cong\triangle BPQ$，则$AC = BP$，$AP = BQ$，
即$\begin{cases}3 = 4 - t,\\t = xt,\end{cases}$解得$\begin{cases}t = 1,\\x = 1。\end{cases}$
②若$\triangle ACP\cong\triangle BQP$，则$AC = BQ$，$AP = BP$，
即$\begin{cases}3 = xt,\\t = 4 - t,\end{cases}$解得$\begin{cases}t = 2,\\x=\frac{3}{2}。\end{cases}$
综上所述，存在$\begin{cases}t = 1,\\x = 1\end{cases}$或$\begin{cases}t = 2,\\x=\frac{3}{2}\end{cases}$使得$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等。