《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

8. 已知$n$是正整数，且$x^{2n}=2$。
　(1)求$(3x^{3n})^2 - 4(x^2)^{2n}$的值。
　(2)求$(x^{3n})^2 - 2(x^2)^{2n}$的值。

答案：
(1)原式$=9x^{6n}-4x^{4n}=9(x^{2n})^{3}-4(x^{2n})^{2}$，当$x^{2n}=2$时，原式$=9\times2^{3}-16 = 56$。
(2)原式$=(x^{2n})^{3}-2(x^{2n})^{2}=2^{3}-2\times2^{2}=0$

9. 若$x,y,a$满足方程组$\begin{cases}x + 2y = 1 - a\\x - y = 2a - 5\end{cases}$，则$2^{2x}\cdot4^y$的值为(　　　)。
　
A. 1　　　　　　　　
　B. 2　　　　　　　　
　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　
　D. $\frac{1}{4}$

答案： D

10. 已知$a,b,c$满足$2^a = 5$，$2^b = 10$，$2^c = 80$，则$2025a - 4051b + 2026c$的值为 。

答案： 4053

11. 我们知道，同底数幂乘法法则为：$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$(其中$a\neq0$，$m,n$为正整数)。类似地我们规定关于任意正整数$m,n$的一种新运算：$g(m + n)=g(m)\cdot g(n)$，若$g(1)=-\frac{1}{3}$，那么$g(2025)\cdot g(2026)=$ 。

答案： $-\frac{1}{3^{4051}}$

12. 规定两数$a,b$之间的一种运算，记作$(a,b)$；如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$。例如：因为$2^3 = 8$，所以$(2,8)=3$。
　(1)根据上述规定，填空:
　　　①$(5,125)=$ ，$(-2,-32)=$ 。②若$(x,\frac{1}{16})=-4$，则$x=$ 。
　(2)若$(4,5)=a$，$(4,6)=b$，$(4,30)=c$，试说明下列等式成立的理由：$a + b = c$。

答案：
(1)①$\because5^{3}=125$，$\therefore(5,125)=3$。
$\because(-2)^{5}=-32$，$\therefore(-2,-32)=5$。
②由新定义的运算可得$x^{-4}=\frac{1}{16}$。
$\because(\pm2)^{-4}=\frac{1}{(\pm2)^{4}}=\frac{1}{16}$，$\therefore x = \pm2$。
故答案为:①3;5。②$\pm2$。
(2)$\because(4,5)=a$，$(4,6)=b$，$(4,30)=c$，
$\therefore4^{a}=5$，$4^{b}=6$，$4^{c}=30$。
$\because5\times6 = 30$，$\therefore4^{a}\cdot4^{b}=4^{c}$。$\therefore a + b = c$。

13. (1)已知$a = 3^{55}$，$b = 4^{44}$，$c = 5^{33}$，比较$a,b,c$的大小。
　　(2)已知$2^a = 3$，$2^b = 6$，$2^c = 12$，找出$a,b,c$之间的等量关系。
　　(3)试比较$17^{14}$与$31^{11}$的大小。

答案：
(1)$\because a = 3^{55}=(3^{5})^{11}=243^{11}$，$b = 4^{44}=(4^{4})^{11}=256^{11}$，$c = 5^{33}=(5^{3})^{11}=125^{11}$，$\therefore b ＞ a ＞ c$。
(2)$2^{b}=2^{a}\times2 = 2^{a + 1}$，即$b = a + 1$，同理可得$c = a + 2$，
$\therefore a + c = a + a + 2 = 2a + 2$，$2b = 2a + 2 = a + c$。
$\therefore a + c = 2b$。
(3)$\because17^{14}＞16^{14}$，$\therefore17^{14}＞2^{56}＞2^{55}=32^{11}$。
$\because32^{11}＞31^{11}$，$\therefore17^{14}＞31^{11}$。