《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D。求证：
(1)△BEC≌△CDA。
(2)DE=AD - BE。

答案：
(1)$\because BE\perp CE$于点$E$，$AD\perp CE$于点$D$，
$\therefore\angle BEC=\angle CDA = 90^{\circ}$。$\therefore\angle BCE+\angle CBE = 90^{\circ}$。
$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle BCE+\angle ACD = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle CBE=\angle ACD$。
在$\triangle BEC$和$\triangle CDA$中，$\because\begin{cases}\angle BEC=\angle CDA,\\\angle CBE=\angle ACD,\\BC = AC,\end{cases}$
$\therefore\triangle BEC\cong\triangle CDA(AAS)$。
(2)$\because\triangle BEC\cong\triangle CDA$，$\therefore CE = AD$，$BE = CD$。
$\therefore DE = CE - CD = AD - BE$。

14. 【黑龙江】如图，BC//EF，AC//DF，添加一个条件：________________，使得△ABC≌△DEF。

答案： $AB = DE$(答案不唯一)

15. 如图，点D在AB上，DF交AC于点E，CF//AB，AE=EC。
求证：AD=CF。

答案： $\because CF// AB$，$\therefore\angle A=\angle ACF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中，$\because\begin{cases}\angle A=\angle ACF,\\AE = EC,\\\angle AED=\angle CEF,\end{cases}$
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle CFE(ASA)$。$\therefore AD = CF$。

16. 有下列2个判断：
(1)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等。
(2)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。
上述判断是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例。

答案：

(1)正确。
已知：如图1，在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\angle BAC=\angle B'A'C'$，$\angle B=\angle B'$，$AD$平分$\angle BAC$，$A'D'$平分$\angle B'A'C'$，且$AD = A'D'$。
求证：$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$。
证明：$\because\angle BAC=\angle B'A'C'$，$AD$平分$\angle BAC$，$A'D'$平分$\angle B'A'C'$，$\therefore\angle BAD=\angle B'A'D'$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，$\because\begin{cases}\angle B=\angle B',\\\angle BAD=\angle B'A'D',\\AD = A'D',\end{cases}$
$\therefore\triangle ABD\cong\triangle A'B'D'(AAS)$。$\therefore AB = A'B'$。
在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\because\begin{cases}\angle B=\angle B',\\AB = A'B',\\\angle BAC=\angle B'A'C',\end{cases}$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'(ASA)$。

(2)不正确。
反例：如图2，$HP = HO$，$HQ = HQ$，$\angle Q=\angle Q$，但是$\triangle HPQ$与$\triangle HOQ$不全等。