《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

8. 在计算$(2x + a)(x + b)$时，甲错把$b$看成了$6$，得到结果：$2x^2 + 8x - 24$；乙错把$a$看成了$-a$，得到结果：$2x^2 + 14x + 20$。
(1)求出$a$，$b$的值。
(2)在(1)的条件下，计算$(2x + a)(x + b)$的结果。

答案：
(1)甲错把b看成了6，(2x + a)(x + 6)=2x²+12x+ax + 6a=2x²+(12 + a)x + 6a=2x²+8x−24，
∴12 + a = 8，解得a = −4。乙错把a看成了−a，(2x−a)(x + b)=2x²+2bx−ax−ab=2x²+(−a + 2b)x−ab=2x²+14x + 20，
∴2b−a = 14，把a = −4代入，解得b = 5。
(2)当a = −4，b = 5时，(2x + a)(x + b)=(2x−4)(x + 5)=2x²+10x−4x−20=2x²+6x−20。

9. 由$m(a + b + c)=ma + mb + mc$，可得$(a + b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3=a^3 + b^3$，即$(a + b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 + b^3$①。我们把等式①叫作多项式乘法的立方和公式。
下列应用这个立方和公式进行的变形中，不正确的是( )。
A. $(a + 1)(a^2 + a + 1)=a^3 + 1$
B. $(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)=8x^3 + y^3$
C. $(a + 3)(a^2 - 3a + 9)=a^3 + 27$
D. $(x + 4y)(x^2 - 4xy + 16y^2)=x^3 + 64y^3$

答案： A

10. 当$x = 1$时，$ax + b + 1$的值为$-2$，则$(a + b - 1)(1 - a - b)$的值为( )。
A. $-16$
B. $-8$
C. $8$
D. $16$

答案： A

11. 若$a^2 - a - 1 = 0$，则代数式$a(a - 1)(a + 1) - a$的值是________。

答案： 1

12. 设$(2x + 1)^3 = a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3$，这是关于$x$的一个恒等式（即对于任意$x$都成立），则$a_1 + a_3$的值是________。

答案： 13

13. 长方形的长为$a(\text{cm})$、宽为$b(\text{cm})$，如果将原长方形的长和宽各增加$2\ \text{cm}$，得到的新长方形面积记为$S_1$；如果将原长方形的长和宽分别减少$3\ \text{cm}$，得到的新长方形面积记为$S_2$。
(1)求$S_1$，$S_2$。
(2)如果$S_1$比$S_2$大$100\ \text{cm}^2$，求原长方形的周长。
(3)若$ab = 300$，$a + b = 35$，求将原长方形的长和宽分别减少$8\ \text{cm}$得到新长方形的面积。

答案：
(1)将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的新长方形的长为(a + 2)cm、宽为(b + 2)cm，
因此，S1=(a + 2)(b + 2)，
将原长方形的长和宽分别减少3cm，得到的新长方形的长为(a−3)cm、宽为(b−3)cm，
因此，S2=(a−3)(b−3)。
(2)
∵S1比S2大100cm²，
∴(a + 2)(b + 2)−(a−3)(b−3)=100。
化简得a + b = 21，
∴原长方形的周长为2(a + b)=42。
(3)
∵ab = 300，a + b = 35，
∴(a−8)(b−8)=ab−8(a + b)+64 =300−8×35 + 64=300−280 + 64 = 84。
∴将原长方形的长和宽分别减少8cm得到新长方形的面积为84cm²。