《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

9. 某同学在计算$3(4 + 1)(4^{2}+1)$时，把3写成$(4 - 1)$后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：$3(4 + 1)(4^{2}+1)=(4 - 1)(4 + 1)(4^{2}+1)=(4^{2}-1)(4^{2}+1)=16^{2}-1 = 255$。请借鉴该同学的经验，计算：$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{4}})(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}=$(　　　)。
A. $2-\frac{1}{2^{16}}$
B. $2+\frac{1}{2^{16}}$
C. 1
D. 2

答案： D

10. 小明将$(2025x + 2026)^{2}$展开后得到$a_{1}x^{2}+b_{1}x + c_{1}$；小红将$(2026x - 2025)^{2}$展开后得到$a_{2}x^{2}+b_{2}x + c_{2}$，若两人计算过程无误，则$c_{1}-c_{2}$的值是________。

答案： 4051

11. 已知$a - b=b - c=\frac{3}{5}$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$，则$ab + bc + ca$的值等于________。

答案： −$\frac{2}{25}$

12. 在学习完全平方公式后，我们对公式的运用进一步探讨。
(1)若$ab = 30$，$a + b = 10$，则$a^{2}+b^{2}$的值为________。
(2)“若$y$满足$(40 - y)(y - 20)=50$，求$(40 - y)^{2}+(y - 20)^{2}$的值”。
阅读以下解法，并解决相应问题。
解：设$40 - y = a$，$y - 20 = b$，则$a + b=(40 - y)+(y - 20)=20$，$ab=(40 - y)(y - 20)=50$。这样就可以利用(1)中的方法进行求值了。
若$x$满足$(40 - x)(x - 20)=-10$，求$(40 - x)^{2}+(x - 20)^{2}$的值。
(3)若$x$满足$(30 + x)(20 + x)=10$，求$(30 + x)^{2}+(20 + x)^{2}$的值。

答案：
(1)
∵a+b=10,
∴(a+b)²=100,即a²+2ab+b²=100。将ab=30代入得a²+b²+2×30=100,
∴a²+b²=100−60=40,故答案为:40。
(2)设40−x=a,x−20=b,则(40−x)(x−20)=ab=−10。
∵a+b=(40−x)+(x−20)=20,
∴(40−x)²+(x−20)²=a²+b²=(a+b)²−2ab=20²−2×(−10)=420。
(3)设30+x=a,20+x=b,则(30+x)(20+x)=ab=10。
∵a−b=(30+x)−(20+x)=10,
∴(30+x)²+(20+x)²=a²+b²=(a−b)²+2ab=10²+2×10=120。

13. 如图，将一个边长为$a + b$的正方形图形分割成四部分(两个正方形和两个长方形)，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积(用含$a$，$b$的代数式表示出来)。
(2)如果图中的$a$，$b(a＞b)$满足$a^{2}+b^{2}=57$，$ab = 12$，求$(a + b)^{2}$的值。
(3)已知$(5 + 2x)^{2}+(2x + 3)^{2}=60$，求$(5 + 2x)(2x + 3)$的值。
　　　　

答案：
(1)大正方形的边长为a+b,因此面积为(a+b)²,大正方形的面积可以看作四个部分面积和，即a²+2ab+b²。
(2)由
(1)得(a+b)²=a²+2ab+b²。
∵a²+b²=57,ab=12,
∴(a+b)²=57+24=81。
(3)设m=5+2x,n=2x+3,则m−n=2,m²+n²=60=(5+2x)²+(2x+3)²。
由(m−n)²=m²+n²−2mn得2²=60−2mn,
∴mn=28=(5+2x)(2x+3),
即(5+2x)(2x+3)的值为28。