《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

15.【贺州】如图，下列各组角中，是对顶角的一组是(　　　)。

A. ∠1和∠2
B. ∠3和∠5
C. ∠3和∠4
D. ∠1和∠5

答案： B

16. 若∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子：①90° - ∠β；②∠α - 90°；③180° - ∠α；④$\frac{1}{2}$(∠α - ∠β)。其中正确的是(　　　)。
A. ①②③④
B. ①②③
C. ①②④
D. ①②

答案： C

17. 已知射线OC在∠AOB的内部。
(1)如图1，若已知∠AOC = 2∠BOC，∠AOB的补角比∠BOC的余角大30°。
①求∠AOB的度数。
②过点O作射线OD，使得∠AOC = 3∠AOD，求出∠COD的度数。
(2)如图2，若在∠AOB的内部作∠DOC，OE，OF分别为∠AOD和∠BOC的平分线，则∠AOB + ∠DOC = 2∠EOF，请说明理由。

答案：
(1)①设$\angle BOC = x$，由$\angle AOC = 2\angle BOC$可得$\angle AOC = 2x$，$\therefore\angle AOB$的补角为$180^{\circ}-3x$，$\angle BOC$的余角为$90^{\circ}-x$。
$\because\angle AOB$的补角比$\angle BOC$的余角大$30^{\circ}$，
$\therefore180^{\circ}-3x = 90^{\circ}-x + 30^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$。
$\therefore\angle AOB = 3x = 90^{\circ}$。
②$\because$由①题知，$x = 30^{\circ},\therefore\angle AOC = 2x = 60^{\circ}$。
当射线$OD$在$\angle AOB$的内部时，
$\because\angle AOC = 3\angle AOD,\therefore\angle COD=\frac{2}{3}\angle AOC=\frac{2}{3}\times60^{\circ}=40^{\circ}$。当射线$OD$在$\angle AOB$的外部时，
$\because\angle AOC = 3\angle AOD,\therefore\angle AOD=\frac{1}{3}\angle AOC=\frac{1}{3}\times60^{\circ}=20^{\circ}$。$\therefore\angle COD=\angle AOD+\angle AOC = 20^{\circ}+60^{\circ}=80^{\circ}$。
综上所述，$\angle COD$的度数是$40^{\circ}$或$80^{\circ}$。
(2)$\because OE,OF$分别为$\angle AOD$和$\angle BOC$的平分线，
$\therefore\angle EOD=\frac{1}{2}\angle AOD,\angle COF=\frac{1}{2}\angle BOC$。
$\therefore\angle EOF=\angle DOC+\frac{1}{2}(\angle AOD+\angle BOC)$。
$\therefore2\angle EOF = 2\angle DOC+\angle AOD+\angle BOC=\angle AOB+\angle DOC$，即$\angle AOB+\angle DOC = 2\angle EOF$。