《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

8. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD=CB，∠ACD=42°，求∠BAC的度数。

答案： 设$\angle BAC = x$。$\because AB = AC$，$CD = CB$，$\therefore \angle ACB=\angle B=\angle BDC$。$\therefore \angle BCD=\angle BAC = x$。$\because \angle ACD = 42^{\circ}$，$\therefore \angle B=\angle ACB = 42^{\circ}+x$。$\therefore 2(42^{\circ}+x)+x = 180^{\circ}$，解得$x = 32^{\circ}$。$\therefore \angle BAC = 32^{\circ}$。

9. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线。若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )。

A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

答案： D

10. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是( )。

A. BC
B. CE
C. AD
D. AC

答案： B

11. 在等腰三角形中，小彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的(60°，60°)；已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的(45°，45°)；已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的(30°，30°)。由此小彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的。小彪同学的结论是________的。(填“正确”或“错误”)

答案： 错误

12. 如图，等边△A₁C₁C₂的周长为1，作C₁D₁⊥A₁C₂于点D₁，在C₁C₂的延长线上取点C₃，使D₁C₃=D₁C₁，连接D₁C₃，以C₂C₃为边作等边△A₂C₂C₃；作C₂D₂⊥A₂C₃于点D₂，在C₂C₃的延长线上取点C₄，使D₂C₄=D₂C₂，连接D₂C₄，以C₃C₄为边作等边△A₃C₃C₄……且点A₁，A₂，A₃，…都在直线C₁C₂同侧，如此下去，则△AₙCₙCₙ₊₁的周长为________。(n≥2，且n为整数)

答案： $\frac{1}{2^{n - 1}}$

13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连接BE，CD，交于点F。
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由。
(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC。

答案：
(1)$\angle ABE=\angle ACD$。理由如下：在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，$\because\begin{cases}AB = AC,\\\angle A=\angle A,\\AE = AD,\end{cases}$$\therefore \triangle ABE\cong\triangle ACD(SAS)$。$\therefore \angle ABE=\angle ACD$。
(2)连接$AF$。$\because AB = AC$，$\therefore \angle ABC=\angle ACB$。由
(1)可知$\angle ABE=\angle ACD$，$\therefore \angle FBC=\angle FCB$。易知$FB = FC$。在$\triangle ABF$和$\triangle ACF$中，$\because\begin{cases}AB = AC,\\\angle ABF=\angle ACF,\\BF = CF,\end{cases}$$\therefore \triangle ABF\cong\triangle ACF(SAS)$。$\therefore \angle BAF=\angle CAF$，即$AF$为等腰三角形$ABC$顶角$\angle BAC$的平分线。$\therefore$由等腰三角形的性质可知直线$AF$是$\triangle ABC$的对称轴。$\therefore$过点$A$，$F$的直线垂直平分线段$BC$。