《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

13. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为CD的中点，连接AE，BE，且BE⊥AE，延长AE 交BC的延长线于点F。
(1)求证:AD=FC。
(2)求证:AB=BC+AD。

答案：
(1)
∵AD//BC，
∴∠DAE = ∠F，∠ADE = ∠FCE。
∵点E是DC的中点，
∴DE = CE。
在△ADE和△FCE中，
∵$\begin{cases}∠DAF = ∠F,\\∠ADE = ∠FCE,\\DE = CE,\end{cases}$
∴△ADE≌△FCE(AAS)。
∴AD = FC。
(2)由
(1)知△ADE≌△FCE，
∴AE = EF，AD = FC。又
∵BE⊥AF，
∴AB = BF。
∵BF = BC + CF = BC + AD，
∴AB = BC + AD。

14.【黄石】如图，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC等于(　　　　)。

A. 50°　　　　　　　　
　B. 100°　　　　　　　　
　C. 120°　　　　　　　　
　D. 130°

答案： B

15.【青海】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=10°，则∠C的度数是__________。

答案： 40°

16. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N。
(1)如图1，若∠BAC=100°，求∠EAN的度数。
(2)如图2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度数。
(3)若∠BAC=α(α≠90°)，直接写出用α表示∠EAN大小的代数式。

答案：
(1)
∵DE垂直平分AB，
∴AE = BE。
∴∠BAE = ∠B。同理可得：∠CAN = ∠C，
∴∠EAN = ∠BAC - ∠BAE - ∠CAN = ∠BAC - (∠B + ∠C)。
在△ABC中，∠B + ∠C = 180° - ∠BAC = 80°，
∴∠EAN = 100° - 80° = 20°。
(2)
∵DE垂直平分AB，
∴AE = BE。
∴∠BAE = ∠B。
同理可得：∠CAN = ∠C，
∴∠EAN = ∠BAE + ∠CAN - ∠BAC = (∠B + ∠C) - ∠BAC。
在△ABC中，∠B + ∠C = 180° - ∠BAC = 110°，
∴∠EAN = 110° - 70° = 40°。
(3)当α ＜ 90°时，∠EAN = 180° - 2α；
当α ＞ 90°时，∠EAN = 2α - 180°。