《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

1. 如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC = 2BE,点D是AC的中点,连接BD,AE相交于点F。若S_{△ABC}=24,则S_{△ADF}-S_{△BEF}=( )。

A. 4
B. 5
C. 6
D. 8

答案： A

2. 如图,在△ABC中,AB = AC = 6,面积为24,O是BC上任意一点,OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,则OE + OF的值为( )。

A. 4
B. $\frac{24}{5}$
C. 15
D. 8

答案： D

3. (1)已知三角形三条边的长度为3,x,9,则x的取值范围是______________。
(2)已知三角形的三条边长均为整数,其中有一条边长是4,但它不是最短边,这样的三角形共有________个。

答案：
(1)$6 ＜ r ＜ 12$
(2)8

4. 如图,BO,CO分别平分∠CBE,∠BCF。
(1)若∠ABC = 40°,∠ACB = 60°,则∠BOC = ________。
(2)若∠A = 60°,则∠BOC = ________。
(3)求∠BOC与∠A之间的数量关系。

答案：
(1)$\because\angle ACB = 60^{\circ},\angle ABC = 40^{\circ},\therefore\angle BCF = 180^{\circ}-\angle ACB = 120^{\circ},\angle CBE = 180^{\circ}-\angle ABC = 140^{\circ}$。$\because BO,CO$分别平分$\angle CBE,\angle BCF,\therefore\angle OBC=\frac{1}{2}\angle CBE = 70^{\circ},\angle OCB=\frac{1}{2}\angle BCF = 60^{\circ}$。$\therefore\angle BOC = 180^{\circ}-\angle OBC-\angle OCB = 50^{\circ}$。
(2)$\because BO,CO$分别平分$\angle CBE,\angle BCF,\therefore\angle OBC=\frac{1}{2}\angle CBE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC),\angle OCB=\frac{1}{2}\angle BCF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ACB)$。
$\therefore\angle BOC = 180^{\circ}-\angle OBC-\angle OCB$
$=180^{\circ}-[\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ACB)]$
$=\frac{1}{2}(\angle ACB+\angle ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$
$=90^{\circ}-\frac{1}{2}\times60^{\circ}=60^{\circ}$。
(3)由
(2)可知$\angle BOC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。

5. 已知等腰三角形ABC,AB = AC,D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为边在直线AD的右侧作等腰三角形ADE,∠DAE = ∠BAC,AD = AE,连接CE。
(1)如图1,当点D在边BC上时,请探究BC,CD,CE之间的数量关系。
(2)如图2,当点D在BC的延长线上时,(1)中BC,CD,CE之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出新的结论,并说明理由。

答案：
(1)$\because\angle BAC=\angle DAE,\therefore\angle BAC - \angle DAC=\angle DAE - \angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，$\because\begin{cases}AB = AC,\\\angle BAD=\angle CAE,\\AD = AE,\end{cases}\therefore\triangle BAD\cong\triangle CAE(SAS)$。$\therefore BD = CE$。$\therefore CE + CD = BD + CD = BC$。
(2)不成立，$CE - CD = BC$。理由如下：$\because\angle BAC=\angle DAE,\therefore\angle BAD=\angle CAE$。在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，$\because\begin{cases}AB = AC,\\\angle BAD=\angle CAE,\\AD = AE,\end{cases}\therefore\triangle BAD\cong\triangle CAE(SAS)$。$\therefore CE = BD$。$\therefore CE - CD = BD - CD = BC$。