《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

14.【枣庄】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为( )。

A. 15°
B. 17.5°
C. 20°
D. 22.5°

答案： A

15.【绵阳】如图，AC//BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，则∠D=________。

答案： $66^{\circ}$

16. 已知△ABC为等边三角形，D为AC上的一个动点，E为BC延长线上一点，且BD=DE。
(1)如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由。
(2)如图2，若点D在AC的延长线上，(1)中的结论是否成立？请说明理由。

答案：

(1)$AD = CE$。理由如下：如图1，过点$D$作$DP// BC$，交$AB$于点$P$。$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore \triangle APD$也是等边三角形。$\therefore AP = PD = AD$，$\angle APD=\angle ABC=\angle ACB=\angle PDA = 60^{\circ}$。$\because DB = DE$，$\therefore \angle DBC=\angle DEC$。$\because DP// BC$，$\therefore \angle PDB=\angle CBD$。$\therefore \angle PDB=\angle DEC$。又$\because \angle BPD = 180^{\circ}-\angle APD = 120^{\circ}$，$\angle DCE = 180^{\circ}-\angle ACB = 120^{\circ}$，$\therefore \angle BPD=\angle DCE$。在$\triangle BPD$和$\triangle DCE$中，$\because\begin{cases}\angle PDB=\angle CED,\\\angle BPD=\angle DCE,\\BD = DE,\end{cases}$$\therefore \triangle BPD\cong\triangle DCE(AAS)$。$\therefore PD = CE$。$\therefore AD = CE$。
(2)
(1)中的结论成立。理由如下：如图2，过点$D$作$DP// BC$，交$AB$的延长线于点$P$。$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore \triangle APD$也是等边三角形。$\therefore AP = PD = AD$，$\angle APD=\angle ABC=\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}$。$\because DB = DE$，$\therefore \angle DBC=\angle DEC$。$\because DP// BC$，$\therefore \angle PDB=\angle CBD$。$\therefore \angle PDB=\angle DEC$。在$\triangle BPD$和$\triangle DCE$中，$\because\begin{cases}\angle PDB=\angle CED,\\\angle P=\angle DCE = 60^{\circ},\\BD = DE,\end{cases}$$\therefore \triangle BPD\cong\triangle DCE(AAS)$。$\therefore PD = CE$。$\therefore AD = CE$。