《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

19. (8分)若$x = 2^{m}+2$，$y = 3 + 4^{m}$。
(1)请用含$x$的代数式表示$y$。
(2)如果$x = 3$，求此时$y$的值。

答案：
(1)
∵4m=2²m=(2m)²,x=2㎡+2,
∴2"=x−2。
∵y=4"+3,
∴y=(x−2)²+3,即y=x²−4x+7。
(2)把x=3代入y=x²−4x+7=4。

20. (8分)若$(x^{3}+mx + n)(x^{2}-3x + 4)$的积中不含$x^{2}$项，并且$x^{3}$项的系数为$2$。
(1)求$m$，$n$的值。
(2)先化简,再求值:[(2m + n)^{2}+(2m + n)(n - 2m)-6n]\div(-2n)。

答案：
(1)原式=x−3x⁴+(m+4)x²+(−3m+n)x²+(4m−3n)x+4n。
由题意得{−m3+m4+=n2=,0,解得{nm==−−62。,
(2)原式=(4m²+4mn+n²+n²−4m²−6n)÷(−2n)
=(2n²+4mn−6n)÷(−2n)
=−n−2m+3,
当m=−2,n=−6时,原式=13。

21. (10分)填空并回答问题:
(1)$2^{1}=2$，$2^{2}=4$，$2^{3}=8$，$2^{4}=16$，$2^{5}=32$，$2^{6}=64$，$2^{7}=128$，$2^{8}=256$。
(2)根据(1)的计算结果,你发现$2^{n}(n$是正整数$)$的个位上数字的变化有什么规律？
(3)根据上述结论,请你运用平方差公式计算出$(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)\cdots(2^{4096}+1)$的个位数字。

答案：
(1)2　4　8　16　32　64　128　256
(2)2"的个位数字变化的规律是2,4,8,6四个数依次循环。
(3)(2+12²+1X2+12+1)...(2409;+1)
=(2−1X2+1X2²+1X2+1X2+1)...(2⁴⁰9⁶+1)
=(2²−1X2²+1X2+12+1)...(24⁰⁹⁶+1)
=(2+−12++1×2⁸+1)...(24096+1)
=(2⁴⁰9⁶−12⁴⁰⁹⁶+1)=28¹⁹²−1。
∵8192÷4=2048,
∴2⁸¹¹⁹²的个位数字与2的个位数字相同,为6。
∴281192−1的个位数字是5。

22. (10分)对于任意四个有理数$a$，$b$，$c$，$d$可以组成两个有理数对$(a,b)$与$(c,d)$。我们规定:$(a,b)@(c,d)=a^{2}+d^{2}-bc$，例如:$(1,2)@(3,4)=1^{2}+4^{2}-2\times3 = 11$。
(1)若$(2x,kx)@(y,-y)$是一个完全平方式，求常数$k$的值。
(2)若$2x + y = 12$，且$(3x + y,2x^{2}+3y^{2})@(3,x - 3y)=104$，求$xy$的值。
(3)在(2)的条件下,将长方形$ABCD$及长方形$CEFG$按照如图所示的方式放置,其中点$E$，$G$分别在边$CD$，$BC$上,连接$BD$，$BF$，$DF$，$EG$。若$AB = 2x$，$BC = 8x$，$CE = y$，$CG = 4y$，求图中阴影部分的面积。

答案：
(1)原式=(2.x)²+(−y)²−kx.y=4x²−kxy+y²。
∵4x²−kry+y2是一个完全平方式,
∴k=±4。
(2)(3x+y)²+(x−3y)²−3(2x²+3y²)=9x²+6xy+y²+x²−6xy+9y²−6x²−9y²=4x²+y²=(2x+y)²−4xy =104,
∵2x+y=12,
∴12²−4xy=104。
∴xy=10。
(3)
∵S△BDC=$\frac{1}{2}$.2x.{8x=8x²,S△BGF=$\frac{1}{2}$(8x−4y).y=
4xy−2y²,S△DEF=$\frac{1}{2}$.4y.(2x−y)=4.xy−2γ²,S△GEc=
$\frac{1}{2}$.4y.y=2y²²,
∴S影=8.x²−(4xy−2y²)−(4xy−2y²)
−2y²=2(4.x²−4xy+y²)=2[(2x+y)²−8xy]=2×(12²−8×10)=128。