《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

14. 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
方案一：第一次提价的百分率为$p$，第二次提价的百分率为$q$。
方案二：第一次提价的百分率为$q$，第二次提价的百分率为$p$。
方案三：第一、二次提价的百分率均为$\frac{p + q}{2}$。
其中$p$，$q$是不相等的正数。设产品的原单价为$a$元，上述三种方案使该产品的单价变为：
方案一：______________；方案二：______________；方案三：______________。
由此可知，三种方案中哪种提价最多？

答案： 方案一：a(1 + p)(1 + q)。
方案二：a(1 + q)(1 + p)。
方案三：a(1 + $\frac{p + q}{2}$)²。
∴方案一与方案二结果相同。
a(1 + $\frac{p + q}{2}$)²−a(1 + p)(1 + q)=a[1 + p + q + ($\frac{p + q}{2}$)²−(1 + p + q + pq)]
=a(1 + p + q + $\frac{p² + 2pq + q²}{4}$−1−p−q−pq)
=a($\frac{p² + 2pq + q²}{4}$−pq)
=a·$\frac{p²−2pq + q²}{4}$=$\frac{a(p−q)²}{4}$。
∵p≠q，
∴$\frac{(p−q)²}{4}$＞0。
∴$\frac{a(p−q)²}{4}$＞0。
∴a(1 + $\frac{p + q}{2}$)²＞a(1 + p)(1 + q)。
∴提价最多的是方案三。

15.【岳阳】已知$x^2 + 2x = -1$，则代数式$5 + x(x + 2)$的值为________。

答案： 4

16.【杭州】设$M = x + y$，$N = x - y$，$P = xy$。若$M = 1$，$N = 2$，则$P =$________。

答案： −$\frac{3}{4}$

17. 两类正方形$A$，$B$，其边长分别为$a$，$b$。现将$B$放在$A$的内部得图1，将$A$，$B$并列放置后构造新的正方形得图2。若图1和图2中阴影部分的面积分别为$1$和$12$，求：
(1)正方形$A$，$B$的面积之和为________。
(2)小明想要拼一个两边长分别为$2a + b$和$a + 3b$的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形$A$，$B$外，还需要以$a$，$b$为边的长方形________个。
(3)三个正方形$A$和两个正方形$B$如图3摆放，求阴影部分的面积。
　　　　　　 　　　　

答案：
(1)由图1得(a−b)²=1，由图2得(a + b)²−a²−b²=12，解得ab = 6，a² + b² = 13。
故答案为：13。
(2)(2a + b)(a + 3b)=2a²+6ab + ab + 3b²=2a²+7ab + 3b²，
∴需要以a，b为边的长方形7个。
故答案为：7。
(3)
∵ab = 6，a² + b² = 13，
∴(a + b)²=(a−b)²+4ab=1 + 24 = 25。
∵a + b＞0，
∴a + b = 5。
∵(a−b)²=1，
∴a−b = 1。
∴图3的阴影部分面积S=(2a + b)²−3a²−2b²=a²−b²+4ab=(a + b)(a−b)+4ab =5 + 24 = 29。