《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

9. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点O,连接BO并延长交AC于点F。
(1)若AB = 6,BC = 3,则CE:AD为______。
(2)若AB = 5,BC = 4,AC = 6,则CE:AD:BF为____________。

答案：
(1)$1:2$
(2)$12:15:10$

10. 如图,在△ABC中,BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线。
(1)若∠A = 30°,请写出∠BDC,∠BPC的度数。
(2)当∠A变化时,∠D+∠P的值是否变化?请说明理由。

答案：
(1)在$\triangle ABC$中，$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A$，$\because BD,CD$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线，
$\therefore\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC,\angle DCB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
$\therefore\angle DBC+\angle DCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。在$\triangle BCD$中，$\angle BDC = 180^{\circ}-(\angle DBC+\angle DCB)=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A=90^{\circ}+15^{\circ}=105^{\circ}$。
$\because BP,CP$分别是$\angle EBC,\angle FCB$的平分线，
$\therefore\angle CBP=\frac{1}{2}\angle CBE,\angle BCP=\frac{1}{2}\angle BCF$。
$\therefore\angle CBP+\angle BCP=\frac{1}{2}\angle CBE+\frac{1}{2}\angle BCF=\frac{1}{2}(\angle CBE+\angle BCF)=\frac{1}{2}(\angle A+\angle ACB+\angle A+\angle ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}+\angle A)$。$\therefore\angle BPC = 180^{\circ}-(\angle CBP+\angle BCP)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}+\angle A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A=90^{\circ}-\frac{1}{2}\times30^{\circ}=75^{\circ}$。
(2)$\angle D+\angle P$的值不变。理由如下：由
(1)知$\angle D = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A,\angle P = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A,\therefore\angle D+\angle P = 180^{\circ}$。

11. 在△ABC中,AB = AC,点D是直线BC上一点,连接AD,以AD为边向右作△ADE,使得AD = AE,∠DAE = ∠BAC,连接CE。
(1)如图1,当点D在BC边上时。
①若∠BAC = 40°,则∠DCE = ________°。
②若∠BAC = 80°,则∠DCE = ________°。
③观察以上结果,猜想∠BAC与∠DCE之间的数量关系,并说明理由。
(2)当点D在BC的延长线上时,请判断∠BAC与∠DCE之间的数量关系,并说明理由。

答案：

(1)①$140$ ②$100$
③$\angle BAC+\angle DCE = 180^{\circ}$。理由如下：
$\because\angle BAC=\angle DAE,\therefore\angle BAC - \angle DAC=\angle DAE - \angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$\because\begin{cases}AB = AC,\\\angle BAD=\angle CAE,\\AD = AE,\end{cases}\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$。
$\therefore\angle B=\angle ACE$。$\therefore\angle BAC+\angle DCE=\angle BAC+\angle BCA+\angle ACE=\angle BAC+\angle BCA+\angle B = 180^{\circ}$。
(2)$\angle BAC=\angle DCE$。理由如下：
如图，$\because\angle BAC=\angle DAE,\therefore\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$\because\begin{cases}AB = AC,\\\angle BAD=\angle CAE,\\AD = AE,\end{cases}\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$。$\therefore\angle B=\angle 2$。
$\because\angle BAC+\angle B+\angle 3 = 180^{\circ}$，
$\angle DCE+\angle 2+\angle 3 = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle BAC=\angle DCE$。