《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

15.【宜昌】从前，古希腊一位庄园主把一块边长为$a(\mathrm{m})(a ＞ 6)$的正方形土地租给某农户，第二年，他对该农户说：“我把这块地的一边增加$6\mathrm{m}$，相邻的另一边减少$6\mathrm{m}$，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会(　　　)。
A. 没有变化　　　　D. 变大了　　　　　　C. 变小了　　　　　　D. 无法确定

答案： C

16.【广安】若$x$，$y$满足$\begin{cases}x - 2y = -2 \\ x + 2y = 3\end{cases}$，则代数式$x^{2}-4y^{2}$的值为________。

答案： - 6

17. 发现与探索：
你能求$(x - 1)(x^{2025}+x^{2024}+x^{2023}+\cdots+x + 1)$的值吗？
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手。先分别计算下列各式的值：
①$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$。
②$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$。
③$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$。
(1)由此我们可以得到：$(x - 1)(x^{2025}+x^{2024}+x^{2023}+\cdots+x + 1)=x^{2026}-1$。
请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
(2)$3^{2025}+3^{2024}+3^{2023}+\cdots+3 + 1$。
(3)$(-3)^{50}+(-3)^{49}+(-3)^{48}+\cdots+(-3)$。

答案：
(1)x²⁰²⁶ - 1
(2)根据规律:(3 - 1)(3²⁰²⁵ + 3²⁰²⁴ + 3²⁰²³ +... + 3 + 1) = 3²⁰²⁶ - 1,
∴3²⁰²⁵ + 3²⁰²⁴ + 3²⁰²³ +... + 3 + 1 = $\frac{3^{2026}-1}{2}$
(3)根据规律:( - 3 - 1)[( - 3)⁵⁰ + ( - 3)⁴⁹ + ( - 3)⁴⁸ +... + ( - 3) + 1] = ( - 3)⁵¹ - 1,
∴( - 3)⁵⁰ + ( - 3)⁴⁹ + ( - 3)⁴⁸ +... + ( - 3) + 1 = $\frac{(-3)^{51}-1}{-4}$
∴( - 3)⁵⁰ + ( - 3)⁴⁹ + ( - 3)⁴⁸ +... + ( - 3) = $\frac{3^{51}+1}{4}$ - 1 = $\frac{3^{51}-3}{4}$