《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

15. 【兰州】化简：$a(a - 2)+4a=$( )。
A. $a^{2}+2a$
B. $a^{2}+6a$
C. $a^{2}-6a$
D. $a^{2}+4a - 2$

答案： A

16. 【南京】计算：$(x + y)(x^{2}-xy + y^{2})$。

答案： 原式$=x^{3}-x^{2}y+xy^{2}+x^{2}y-xy^{2}+y^{3}=x^{3}+y^{3}$。

17. 观察下列等式：
$12×231 = 132×21$。
$13×341 = 143×31$。
$23×352 = 253×32$。
$34×473 = 374×43$。
$62×286 = 682×26$。
…
以上每个等式中等号两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”。
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：
①$52×$ = $×25$。
② $×396 = 693×$ 。
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，且$2\leqslant a + b\leqslant9$，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含$a$，$b$)，并加以证明。

答案：
(1)①275 572 ②63 36
(2)一般规律的式子为$(10a + b)\times[100b+10(a + b)+a]=[100a + 10(a + b)+b]\times(10b + a)$。证明：左边$=(10a + b)\times[100b+10(a + b)+a]=(10a + b)(110b + 11a)=11(10a + b)(10b + a)$；右边$=[100a + 10(a + b)+b]\times(10b + a)=(110a + 11b)(10b + a)=11(10a + b)(10b + a)$。$\because$左边$=$右边，$\therefore$“数字对称等式”一般规律的式子成立。