《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

12.【广安】下列四个图形中，线段$BE$是$\triangle ABC$的高的是( )。

答案： D

13. 如图：
(1)在$\triangle ABC$中，$BC$边上的高是________。
(2)在$\triangle AEC$中，$AE$边上的高是________。
(3)在$\triangle FEC$中，$EC$边上的高是________。

答案：
(1)$AB$
(2)$CD$
(3)$EF$

14. 已知在$\triangle ABC$中，$\angle C＞\angle B$，$AE$平分$\angle BAC$。
(1)如图1，$AD\perp BC$于点$D$，若$\angle C = 70^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，求出$\angle DAE$的度数。
(2)在(1)的条件下，若$\angle B=\alpha$，$\angle C=\beta(\alpha＜\beta)$，试探索$\angle DAE$与$\alpha$，$\beta$间的等量关系，不必说明理由。
(3)如图2，在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$，$AE$平分$\angle BAC$，$F$是$AE$上的任意一点，过点$F$作$FG\perp BC$于点$G$，且$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle C = 80^{\circ}$，请你运用(2)中的结论求出$\angle EFG$的度数。
(4)在(3)的条件下，若点$F$在$AE$的延长线上(如图3)，其他条件不变，则$\angle EFG$的度数大小发生改变吗？请说明理由。

答案：
(1)在$\triangle ABC$中，$\because\angle B+\angle C+\angle BAC = 180^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle C = 70^{\circ}$，$\therefore\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B-\angle C = 80^{\circ}$。
$\because AE$平分$\angle BAC$，$\therefore\angle EAC=\frac{1}{2}\angle BAC = 40^{\circ}$。
$\because AD\perp BC$于点$D$，$\therefore\angle ADC = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle DAC = 90^{\circ}-\angle C = 20^{\circ}$。
$\therefore\angle DAE=\angle EAC-\angle DAC = 40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}$。
(2)$\angle DAE=\frac{1}{2}(\beta - \alpha)$。
(3)$\because\angle DAE=\frac{1}{2}(\angle C-\angle B)$，而$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle C = 80^{\circ}$，
$\therefore\angle DAE=\frac{1}{2}\times(80^{\circ}-30^{\circ})=25^{\circ}$。
$\because AD\perp BC$，$FG\perp BC$，$\therefore FG// AD$。
$\therefore\angle EFG=\angle DAE = 25^{\circ}$。
(4)$\angle EFG$的度数大小不发生改变。理由如下：
$\because AD\perp BC$，$FG\perp BC$，$\therefore FG// AD$。
$\therefore\angle EFG=\angle EAD=\frac{1}{2}(\angle C-\angle B)=25^{\circ}$。