《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

24. (12分)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,D为AB的中点。如果点P在线段BC上由点B出发向点C运动,同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动。设运动时间为t(s)。
(1)若点P的速度为3cm/s,则运动t(s)时,BP=__________cm,CP=__________cm(用含t的代数式表示)。若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,则经过几秒时△BPD与△CQP全等？说明理由。
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s,则点Q的运动速度为多少时,能使△BPD与△CQP全等？
(3)若点Q以(2)题中的运动速度从点C出发,点P以(2)题中的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次相遇，相遇点在△ABC的哪条边上。
　　　

答案：
(1)$3t$ $(8 - 3t)$
$\because D$为$AB$的中点，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB = 5cm$。
当$\triangle BPD\cong\triangle CPQ$时，$BP = PC$，$BD = CQ$。
$\because BP + CP = BC = 8cm$，$\therefore BP = 4cm$。
$\therefore t=\frac{4}{3}$。$\therefore CQ = 4cm\neq BD$。$\therefore$不符合。
当$\triangle BPD\cong\triangle CQP$时，$BP = CQ$，$BD = CP$。
$\therefore CP = 5cm$。$\therefore BP = 3cm$。$\therefore t = 1$。
综上所述，当$t = 1$时，$\triangle BPD$与$\triangle CQP$全等。
(2)设点$Q$的速度为$a(cm/s)$，
则点$P$的速度为$(a - 1)cm/s$。
$\because BP$与$CQ$不相等，$\therefore BD = CQ$，$BP = CP$。
设运动时间为$t(s)$，$at = 5$，$(a - 1)t = 4$，
解得$t = 1$，$a = 5$。
$\therefore$当点$Q$的运动速度为$5cm/s$时，运动$1s$后，$\triangle BPD$与$\triangle CQP$全等。
(3)由
(2)知点$Q$的速度是$5cm/s$，点$P$的速度是$4cm/s$，
设经过$t(s)$点$Q$与点$P$第一次相遇。
$\therefore 20 + 4t = 5t$，解得$t = 20$。$\therefore 5t = 100$。
当$t = 20$时，点$Q$从点$C$出发运动了$100m$，在边$AB$上。
$\therefore 20s$后，点$Q$与点$P$第一次在$\triangle ABC$的边$AB$上相遇。