《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

8. 若$a + b = 17$，$ab = 60$，求$a^{2}+b^{2}$和$(a - b)^{2}$的值。

答案： a² + b² = (a + b)² - 2ab = 17² - 2×60 = 289 - 120 = 169。
(a - b)² = (a + b)² - 4ab = 17² - 4×60 = 289 - 240 = 49。

9. 已知$a^{2}+b^{2}=4ab$，则$\frac{(a + b)^{2}}{(a - b)^{2}}$的值是( )。
A. 0
B. 3
C. 4
D. 16

答案： B

10. 已知$m - n = - 5$，$m^{2}+n^{2}=13$，那么$m^{4}+n^{4}$的值是( )。
A. 79
B. 50
C. 100
D. 97

答案： D

11. 已知$a + b = 2$，$ab = - 1$，则$3a + ab + 3b=$________，$a^{2}+b^{2}=$________。

答案： 5　6

12. 已知$(2027 - a)^{2}+(2026 - a)^{2}=1$，则$(2027 - a)\cdot(2026 - a)=$________。

答案： 0

13. 阅读下面的材料：
已知$a + b = - 4$，$ab = 3$，求$a^{2}+b^{2}$的值。
解：$\because a + b = - 4$，$ab = 3$，
$\therefore a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab=(-4)^{2}-2\times3 = 10$。
请你根据上述解题思路解答下列问题：
(1)已知$a - b = - 3$，$ab = - 2$，求$(a + b)(a^{2}-b^{2})$的值。
(2)已知$a - c - b = - 10$，$c(a - b)= - 12$，求$(a - b)^{2}+c^{2}$的值。

答案：
(1)
∵a - b = - 3, ab = - 2,
∴(a + b)(a² - b²) = (a + b)²(a - b) = [(a - b)² + 4ab](a - b) = [(- 3)² + 4×(- 2)]×(- 3) = - 3。
(2)(a - b)² + c² = [(a - b) - c]² + 2c(a - b) = (- 10)² + 2×(- 12) = 76。

14. 用简便方法计算：
(1)$1999^{2}-1998\times2002$。 (2)$2027^{2}-4054\times2026 + 2026^{2}$。
(3)$\frac{102^{2}}{125^{2}-123\times127}$。 (4)$\frac{20262025^{2}}{20262024^{2}[phone]^{2}-2}$。

答案：
(1)原式=(2000 - 1)² - (2000 - 2)×(2000 + 2)=2000² - 2×2000×1 + 1² - (2000² - 4)= - 3995。
(2)原式=2027² - 2×2027×2026 + 2026²=(2027 - 2026)²=1。
(3)原式=$\frac{(100 + 2)²}{125² - (125 - 2)×(125 + 2)}$=$\frac{10000 + 400 + 4}{4}$=2500 + 100 + 1=2601。
(4)设a = 20262025，则20262024 = a - 1, 20262026 = a + 1, 原式=$\frac{a²}{(a - 1)² + (a + 1)² - 2}$=$\frac{a²}{2a²}$=$\frac{1}{2}$。