《2025年全优方案夯实与提高七年级数学下册北师大版》

13. 如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,CE⊥AB于点E,AD = AC,AF平分∠CAB交CE于点F,DF的延长线交AC于点G。求证:
(1)DF//BC。
(2)FG = FE。
　　　　

答案：
(1) $\because AF$平分$\angle CAB$，$\therefore\angle CAF=\angle DAF$。
在$\triangle ACF$和$\triangle ADF$中，$\because\begin{cases}AC = AD,\\\angle CAF=\angle DAF,\\AF = AF,\end{cases}$
$\therefore\triangle ACF\cong\triangle ADF(SAS)$。$\therefore\angle ACF=\angle ADF$。
$\because CE\perp AB$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle ACE+\angle CAE = 90^{\circ}$，$\angle CAE+\angle B = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle ACF=\angle B$。$\therefore\angle ADF=\angle B$。$\therefore DF// BC$。
(2) $\because DF// BC$，$BC\perp AC$，$\therefore FG\perp AC$。
$\therefore\angle AGF=\angle AEF = 90^{\circ}$。
在$\triangle AGF$和$\triangle AEF$中，$\because\begin{cases}\angle AGF=\angle AEF,\\\angle GAF=\angle EAF,\\AF = AF,\end{cases}$
$\therefore\triangle AGF\cong\triangle AEF(AAS)$。$\therefore FG = FE$。

14. 如图,在△ABC中,∠BAC = 90°,AB = AC,BD平分∠ABC,交AC于点D,AE⊥BD于点F,交BC于点E。求证:
(1)AB = BE。
(2)AD = CE。
(3)BE - CE = CD。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1) $\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore\angle ABF=\angle EBF$。
$\because AE\perp BD$于点$F$，$\therefore\angle AFB=\angle EFB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABF$和$\triangle EBF$中，$\because\begin{cases}\angle ABF=\angle EBF,\\FB = FB,\\\angle AFB=\angle EFB,\end{cases}$
$\therefore\triangle ABF\cong\triangle EBF(ASA)$。$\therefore AB = BE$。
(2) 连接$DE$。在$\triangle ABD$和$\triangle EBD$中，
$\because\begin{cases}AB = EB,\\\angle ABD=\angle EBD,\\BD = BD,\end{cases}\therefore\triangle ABD\cong\triangle EBD(SAS)$。
$\therefore AD = DE$，$\angle DEB=\angle BAC = 90^{\circ}$。$\therefore\angle DEC = 90^{\circ}$。
$\because\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$\therefore\angle C = 45^{\circ}$。
$\therefore\angle EDC = 45^{\circ}$。$\therefore DE = CE$。$\therefore AD = CE$。
(3) $\because EB = AB$，$AB = AC$，$\therefore BE = AC$。
$\because AD = CE$，$\therefore BE - CE=AC - AD = CD$。

15.【齐齐哈尔】如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB = ∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是____________________。(只填一个即可)
　　　　

答案： $AD = AC$ (或$\angle D=\angle C$或$\angle ABD=\angle ABC$等)