《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

练4(多选)如图，一半径为 $R$、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径 $POQ$ 水平。一质量为 $m$ 的质点自 $P$ 点上方高度 $R$ 处由静止开始下落，恰好从 $P$ 点进入轨道。质点滑到轨道最低点 $N$ 时，对轨道的压力为 $4mg$，$g$ 为重力加速度的大小。用 $W$ 表示质点从 $P$ 点运动到 $N$ 点的过程中克服摩擦力所做的功。则 (AC)


A.$W = \frac{1}{2}mgR$，质点到达 $Q$ 点后，继续上升一段距离
B.$W = \frac{1}{2}mgR$，质点恰好能到达 $Q$ 点
C.质点再次经过 $N$ 点时，对 $N$ 点压力大于 $2mg$
D.要使质点能到达 $Q$ 点上方 $R$ 处，应在 $P$ 点上方 $2R$ 处释放质点

答案： 练4 【答案】 AC
【解析】 设质点到达 N 点的速度为$v_N$，
在 N 点质点受到轨道的弹力为$F_N$，则
$F_N - mg = \frac{mv_N^2}{R}$，已知$F_N = 4mg$，则质点
到达 N 点的动能为$E_{kN} = \frac{1}{2}mv_N^2 = \frac{3}{2}mgR$.质点由开始至 N 点的过程，由动
能定理得$mg \cdot 2R + W_f = E_{kN}$，解得摩擦
力做的功为$W_f = -\frac{1}{2}mgR$，即克服摩擦
力做的功$W = \frac{1}{2}mgR$. 设从 N 到 Q 的
过程中克服摩擦力做功为$W_1$，则$W_1 ＜ W$. 从 N 到 Q 的过程，由动能定理得
$-mgR - W_1 = \frac{1}{2}mv_Q^2 - \frac{1}{2}mv_N^2$，即
$\frac{1}{2}mgR - W_1 = \frac{1}{2}mv_Q^2$，故质点到 Q 点
后速度不为 0，质点继续上升一段距离，故
A项正确，B项错误；质点从 Q 到 N 克服
摩擦力做的功$W_2 ＜ W_1 ＜ W$；所以，质点
从静止到再次经过 N 点，克服摩擦力做
功为：$W + W_1 + W_2 ＜ 3W = \frac{3}{2}mgR$，故由
动能定理可得：$\frac{1}{2}mv_{N2}^2 ＞ 2mgR - 3W = \frac{1}{2}mgR$，所以，由牛顿第二定律，得支持
力为：$F_N' = mg + \frac{mv_{N2}^2}{R} ＞ 2mg$，故 C项正
确. 要使质点能到达 Q 点上方 R 处，设在
P 点上方 h 处释放质点，那么由动能定理
可得：$mg(h - R) - W - W_1 = 0$，所以，$h ＜ 2R$，故 D项错误.

练5（2024·河北模拟）竖直平面内有一内径很小的固定圆形管道，管道的半径为 $R$，圆管内靠近圆心 $O$ 的侧壁粗糙，远离圆心 $O$ 的侧壁光滑。直径比圆管内径略小质量为 $m$ 的小球在最低点初速度为 $v_{0} = \sqrt{\frac{9}{2}gR}$，刚好可以第二次经过管道最高点，并从最高点滑下来。重力加速度为 $g$，求：
（1）小球从开始运动到第二次运动到最高点过程中机械能减少量；
（2）小球从开始到最终运动的整个过程中，摩擦力做的总功。

答案： 练5 【答案】
(1)$\frac{1}{4}mgR$
(2)$-\frac{5}{4}mgR$
【解析】
(1)由题意可知，小球刚好可以
第二次经过管道最高点，则小球刚好通过
最高点的临界速度$v = 0$
小球从开始运动到第二次运动到最高点
过程，由动能定理得$0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -mg \cdot2R + W_f$
解得$W_f = -\frac{1}{4}mgR$.
由功能关系可知，小球从开始运动到第二
次运动到最高点过程中机械能的减少量
等于小球克服摩擦力做的功，即$\Delta E =-\frac{1}{4}mgR$.
(2)由题意可知，小球在直径 ab 以下运动
不受摩擦力，根据能量守恒定律可得小球最
终将在直径 ab 以下的半圆弧内做往复运
动，由能量守恒定律可得$\frac{1}{2}mv^2 = mgR + Q$
解得$W_f' = -Q = -\frac{5}{4}mgR$
即小球在整个运动过程中，摩擦力做的总
功为$-\frac{5}{4}mgR$.