《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例 1 （2023·四川模拟）如图所示，水平放置的正方形光滑木板 $abcd$，边长为 $2L$，距地面的高度为 $H = 1.8m$，木板正中间有一个光滑的小孔 $O$，一根长为 $2L$ 的细线穿过小孔，两端分别系着两个完全相同的小球 $A$、$B$，两小球在同一竖直平面内。小球 $A$ 以角速度 $\omega = 2.5rad/s$ 在木板上绕 $O$ 点沿逆时针方向做匀速圆周运动时，$B$ 也在水平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，$O$ 点正好是细线的中点，其中 $L = 2m$，不计空气阻力，取 $g = 10m/s^{2}$。求：
（1）小球 $B$ 的角速度；
（2）悬挂 $B$ 球的细线与竖直方向的夹角；
（3）当小球 $A$、$B$ 的速度方向均平行于木板 $ad$ 边时，剪断细线，两小球落地点之间的距离。

答案：
例1 [答案]
(1)2.5rad/s
(2)arccos$\frac{4}{5}$
(3)2√5m
[解析]
(1)
(2)A和B的圆周运动半径分别为$r_{A}=L$，$r_{B}=L\sin\theta$，其中$\theta$为BO线与竖直方向的夹角，设绳子拉力为T，则对A有$T = m\omega^{2}r_{A}$，对B有$T\sin\theta = m\omega^{2}r_{B}$，$T\cos\theta = mg$，解得$\omega_{B}=2.5 rad/s$，$\cos\theta = \frac {4}{5}$，则$\theta = \arccos \frac {4}{5}$.
(3)当剪断细绳后，A先匀速运动L，后做平抛运动；B做平抛运动，A做圆周运动的线速度为$v_{A}=\omega L = 5 m/s$，B做圆周运动的线速度为$v_{B}=\omega_{B}L\sin\theta = 3 m/s$，半径为$L_{2}=L\sin\theta = \frac {6}{5} m$，做平抛运动过程中A的水平位移为$x_{A}=v_{A}\sqrt{\frac{2H}{g}} = 3 m$，做平抛运动过程中B的水平位移为$x_{B}=v_{B}\sqrt{\frac{2(H - L\cos\theta)}{g}} = 0.6 m$，如图为A、B两小球轨迹的俯视图（其中包含A在abcd上做的距离为L的匀速直线运动），知A、B落地点间距$x = \sqrt{(L - L\sin\theta)^{2} + (L + x_{A} - x_{B})^{2}} = 2\sqrt{5} m$.

例 2 （2024·辽宁模拟）长为 $L$ 的轻绳一端固定于 $O$ 点，另一端连接一个质量为 $m$ 可视为质点的小球，$O$ 点距离地面的高度为 $H$，求：
（1）若在 $A$ 点给小球一定的速度，小球恰好可以通过最高点，则小球通过最高点时的速度 $v_{1}$。
（2）若绳子可承受的最大拉力为 $3mg$，由 $A$ 点静止释放小球，绳子恰好在小球到达最低点 $B$ 时断裂，则小球在 $B$ 点时的速度 $v_{2}$；落地点 $C$ 与 $O$ 点的水平距离。
（3）若绳子可承受的最大拉力不变，$O$ 点距离地面的高度 $H$ 不变，但可以调节绳子的长度，由 $A$ 点静止释放小球，当绳子的长度为多少时落地点 $C$ 与 $O$ 点的水平距离最大？

答案： 例2 [答案]
(1)$\sqrt{gL}$
(2)$\sqrt{2gL}$
(3)$\frac{H}{2}$
[解析]
(1)根据题意，小球恰好可以通过最高点，在最高点，由牛顿第二定律有$mg = m\frac{v_{1}^{2}}{L}$，解得$v_{1} = \sqrt{gL}$.
(2)根据题意可知，小球运动到B点时，绳子的拉力达到最大值$3mg$，在B点，由牛顿第二定律有$3mg - mg = m\frac{v_{2}^{2}}{L}$，解得$v_{2} = \sqrt{2gL}$，绳子断了后，小球从B点做平抛运动，则有$H - L = \frac{1}{2}gt^{2}$，$x_{CO} = v_{2}t$，解得$x_{CO} = 2\sqrt{L(H - L)}$.
(3)根据题意，设绳长为$l$，结合
(2)分析可知，绳长和落地点C与O点的水平距离的关系为$x_{CO} = 2\sqrt{-l^{2} + Hl}$，由数学知识可知，当$l = \frac{H}{2}$，时落地点C与O点的水平距离最大.