《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例 4
如图所示，光滑的定滑轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为 $ 3m $ 的重物，另一端系一质量为 $ m $、电阻为 $ r $ 的金属杆。在竖直平面内有间距为 $ L $ 的足够长的平行金属导轨 $ PQ $、$ EF $，在 $ Q $、$ F $ 之间连接有阻值为 $ R $ 的电阻，其余电阻不计，磁感应强度为 $ B_{0} $ 的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端 $ QF $ 处，将重物由静止释放，当重物下降 $ h $ 时恰好达到稳定速度而匀速下降。运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，忽略所有摩擦，重力加速度为 $ g $，求：
（1）电阻 $ R $ 中的感应电流方向；
（2）重物匀速下降的速度 $ v $；
（3）重物从释放到下降 $ h $ 的过程中，电阻 $ R $ 中产生的电热 $ Q_{R} $。

答案： 例4【答案】
(1)电流方向为$Q \to R \to F$
(2)$\frac{2mg(R + r)}{B^{2}L^{2}}$
(3)$\frac{2mghR}{R + r} - \frac{8m^{3}g^{2}(R + r)R}{B^{4}L^{4}}$
【解析】
(1)由右手定则可知电阻$R$中的感应电流方向为$Q \to R \to F$。
(2)金属杆匀速上升，处于平衡状态，由平衡条件，得$T - mg - F = 0$，
式中：$T = 3mg$，$F = B_{0}IL = \frac{B_{0}^{2}L^{2}v}{R + r}$，
所以$v = \frac{2mg(R + r)}{B^{2}L^{2}}$
(3)设电路中产生的总电热为$Q$，则由能量守恒得：
减少的重力势能等于增加的动能和总电热$Q$，
即$3mgh - mgh = \frac{1}{2}(3m)v^{2} + \frac{1}{2}mv^{2} + Q$。
所以电阻$R$中产生的电热$Q_{R}$为$Q_{R} = \frac{R}{R + r}Q = \frac{2mghR}{R + r} - \frac{8m^{3}g^{2}(R + r)R}{B^{4}L^{4}}$。

例 5
（2022·山东模拟）超级高铁是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，如图甲所示。其进站的简化图如图乙所示：管道中固定两根平行金属导轨 $ MN $、$ PQ $，两导轨的间距为 $ L $；管道内依次分布磁感应强度为 $ B $，宽度为 $ D $ 的匀强磁场，且相邻的匀强磁场的方向相反；运输车的质量为 $ m $，运输车上固定着间距为 $ D $、与导轨垂直的两根导体棒 1 和 2，导体棒的电阻均为 $ R $，导体棒与金属导轨良好接触。若运输车（两导轨完全处在磁场中）进站的初速度为 $ v_{0} $，不考虑摩擦、空气阻力和其他电阻。求：
（1）运输车进站瞬间的加速度；
（2）运输车从进站到停止的距离。

答案： 例5【答案】
(1)$\frac{2B^{2}L^{2}v_{0}}{mR}$
(2)$\frac{mv_{0}R}{2B^{2}L^{2}}$
【解析】
(1)导体棒切割磁感线产生的感应电动势$E = 2BLv_{0}$
回路中的感应电流$I = \frac{2BLv_{0}}{2R} = \frac{BLv_{0}}{R}$
运输车受到的安培力$F_{A} = 2BIL = \frac{2B^{2}L^{2}v_{0}}{R}$
由牛顿第二定律得$F_{A} = ma$
解得$a = \frac{2B^{2}L^{2}v_{0}}{mR}$。
(2)对运输车由动量定理得$-F_{A}\Delta t = 0 - mv_{0}$
即$\frac{2B^{2}L^{2}x}{R} = mv_{0}$，解得$x = \frac{mv_{0}R}{2B^{2}L^{2}}$。